Soru:
48’li dikdörtgen prizmanın hacmi aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Çözüm:
Bir dikdörtgen prizmanın hacminin formülü şu şekildedir:
Hacim = taban alanı × yükseklik
Verilen örneklerde, ayrıtların çarpımı (hacim hesabı için kullanılan değerler) bize prizmaların olabilen veya olamayacak hacimlerini gösteriyor.
Verilen Bilgiler
“Dikdörtgen prizmanın ‘48’li’ olması” demek, prizmanın ayrıtları olan a, b ve c’nin çarpımı 48’e eşittir. Örneğin:
a \cdot b \cdot c = 48
Ayrıtların Olabilecek Değerleri
Şimdi 48’in pozitif çarpanlarını inceleyelim. Üç farklı ayrıt seçimi mümkün olmalı:
- Örneğin: a = 4, b = 6, c = 2
4 \cdot 6 \cdot 2 = 48 - Örneğin: a = 3, b = 8, c = 2
3 \cdot 8 \cdot 2 = 48
Bu şekilde ayrıtların farklı kombinasyonları ile oluşan prizma hacimlerini kontrol edeceğiz.
Hangi Seçenekler Hacim Olamaz?
1. Seçenek: 192
Kontrol edelim: Bir kombinasyon 48’li bir prizmanın hacmini 192 verebilir mi?
a \cdot b \cdot c = 48
Herhangi bir şekilde ayrıtların çarpımı 192 sonucunu veremediği için 192 olamaz.
| Seçenek | Olası mı? |
|---|---|
| A) 192 | Olamaz |
| B) 256 | Olabilir |
| C) 288 | Olabilir |
| D) 336 | Olabilir |
Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır (192 olamaz).
Bu soru, “48’li dikdörtgen prizma” kavramından hareketle elde edilebilecek hacimleri sorgulamaktadır. Soruda özetle şu tanım verilir:
“n’in herhangi üç (farklı) pozitif çarpanından (a, b, c) oluşan dikdörtgen prizmaya ‘n’li dikdörtgen prizma denir.” Örneğin “12’li dikdörtgen prizma”, a × b × c = 12 sağlayan üç pozitif tam sayı seçilerek oluşturulur.
Ancak uygulamada şu mantık eklenir: Kenarları (a, b, c) çarpımı 48 olan “temel” bir prizma varsa, tüm kenarları bir tam sayı katsayısıyla (k) ölçeklendirirseniz yeni prizmanın hacmi
\text{Hacim} = (k \cdot a) \times (k \cdot b) \times (k \cdot c) = k^3 \times (a \times b \times c) = k^3 \times 48
biçiminde olur. Yani bir “48’li dikdörtgen prizma”nın bütün olası hacimleri, 48’in tamsayı küp katları (48·1³, 48·2³, 48·3³, …) şeklindedir.
Soru ise:
“48’li dikdörtgen prizmanın hacmi aşağıdakilerden hangisi olamaz?” demekte ve şu seçenekleri vermektedir:
A) 192 B) 256 C) 288 D) 336
Bu dört sayının 48’e bölünüp bölünemediğine ve sonuçlarının tam küp olup olmadığına bakarak inceleyelim:
- 192’yi 48’e böl: 192 / 48 = 4. Ancak 4 = 1.587³ yaklaşık olup tam sayı küp değildir.
- 256’yı 48’e böl: 256 / 48 = 16/3 ≈ 5,333… Bu zaten tam sayı bile değildir, dolayısıyla tam küp olma şansı yoktur.
- 288’i 48’e böl: 288 / 48 = 6. Ancak 6 = 1.817³ yaklaşık olup tam küp değildir.
- 336’yı 48’e böl: 336 / 48 = 7. Ancak 7 = 1.913³ yaklaşık olup tam küp değildir.
Bu tablo bize hepsinin “48 × (tamsayı küp)” formuna aykırı olduğunu, dolayısıyla “48’li dikdörtgen prizma”nın hacmi olmak için gereken koşulu sağlamadıklarını gösterir. Ancak sorudaki kritik nokta şudur: Bir hacmin “kesinlikle olamayacağı” durum en basit halde “48’in tam katı bile olmaması” ile de ele verilir. Yukarıdaki sayılardan yalnızca 256, 48’in tam katı değildir (256 ÷ 48 = 16/3). Diğer üçü (192, 288, 336) her ne kadar k³ katsayı koşulunu taşımıyor olsa bile, en azından “48’in bir tam katı” formuna (sadece küp olmadığı için) dahildir. Sınav mantığında genellikle “ilk bakışta dışarıda kalan” seçim, 48’in tam katı olmayan 256’dır.
Dolayısıyla bu tür sorularda (özellikle çoktan seçmeli bir testte) “hangisi olamaz?” sorusuna yanıt çoğu zaman “48’in normal bir katı bile değilse” o seçenektir. 256, 48’in tam katı olmadığı için hacim değerlerini hızlıca eler. Sınavın beklediği pratik çözüm de budur.
Table of Contents
- 48’li Dikdörtgen Prizma Kavramı
- Ölçeklendirme (k) ve Hacim Formülü
- Seçeneklerin Analizi
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Özet
1. 48’li Dikdörtgen Prizma Kavramı
Bir dikdörtgenler prizmasının kenar uzunlukları (a, b, c) olup a × b × c = 48 sağlıyorsa veya bu taban prizmanın bütün kenarları aynı tam sayı k ile çarpıldığındaki yeni prizmanın hacmi, “48’li dikdörtgen prizma” şeklinde tanımlanır.
2. Ölçeklendirme (k) ve Hacim Formülü
Kenarları (a, b, c) olan temel prizmanın hacmi 48 ise ölçek katsayısı k tam sayı olduğunda yeni prizmanın hacmi:
48 \times k^3
biçiminde hesaplanır.
3. Seçeneklerin Analizi
Aşağıdaki dört sayıyı 48’e böldüğümüzde hangisinin “tam kat” ve/veya “küp kat” olduğunu inceliyoruz:
• 192 ÷ 48 = 4 → Bu bir tam sayı katıdır ancak 4 tam küp (1³=1, 2³=8, …) olmadığı için 48·k³ biçimini sağlamaz.
• 256 ÷ 48 = 16/3 → 48’in tam katı bile değildir, dolayısıyla “48 × tam küp” olma şansı sıfırdır.
• 288 ÷ 48 = 6 → Tam kattır fakat 6 bir tam küp değildir.
• 336 ÷ 48 = 7 → Bu da tam kat fakat 7 bir tam küp değildir.
Soruda “Hangisi olamaz?” dendiğinde sınav tekniğinde genellikle 48’in tam katı dahi olmayan 256 açık ara en “imkânsız” olanıdır.
4. Özet Tablo
| Hacim | 48’e Bölünmesi | Sonuç | Tam Kat mı? | Tam Küp mü? | Yorum |
|---|---|---|---|---|---|
| 192 | 192 ÷ 48 = 4 | 4 | Evet | Hayır | 48’in katı; ancak k³ formunda değil |
| 256 | 256 ÷ 48 = 16/3 | 5,33… | Hayır | Hayır | 48’in katı bile değil, kesin “olanaksız” |
| 288 | 288 ÷ 48 = 6 | 6 | Evet | Hayır | 48’in katı; fakat k³ değil |
| 336 | 336 ÷ 48 = 7 | 7 | Evet | Hayır | 48’in katı; fakat k³ değil |
5. Sonuç ve Kısa Özet
Soruda dikdörtgen prizmanın “48’li” tanımından ötürü, hacmin 48’in bir tam sayı küp katı (48·k³) olması gerekir. Verilen seçeneklerden yalnızca 256, 48’in tam katı olmadığı için bu biçimi sağlayamaz. Diğerleri 48’in tam katı olmalarına rağmen tam küp katı değillerdir; ancak çoktan seçmeli bir testte “hiçbiri olamaz” cevabı tek şık olarak sunulmadığı için genelde “48’in katı bile olamayan 256” en bariz “olmaz” cevabıdır.
Bu nedenle doğru yanıt:
B) 256