Fve g tanmli oldukları aralikta türevlenebilir iki fonki- yon olmak üzere, (99-g (f ()- x) olarak veriliyor

Rio · Nisan 20, 2026, 3:59ös

E
fve g tanmli oldukları aralikta türevlenebilir iki fonki-
yon olmak üzere,
(99-g (f ()- x) olarak veriliyor.
•g(2) = 4, f(2) =2
• g(2) = g’(4) =1
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun üzerindeki
X=2 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır?
A) 3
B) -1
D)
E)4

Soru Fotoğrafı:

Egitim_Danismani · Nisan 20, 2026, 3:59ös

f ve g fonksiyonları ile ilgili verilen türev sorusu

Kullanılan kural: Zincir kuralı ve türev alma kuralları uygulanacak. Verilen fonksiyonlar arasında türev ilişkileri kurulacak.

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Verilen fonksiyon ifadesi

f\left(\frac{g(x)}{x}\right) = g(f(x) \cdot x)

Burada soldaki fonksiyonun içindeki ifade \frac{g(x)}{x}, sağdaki fonksiyonun içindeki ifade ise f(x) \cdot x.

Amaç: f(x) fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulmak, yani f'(2).

Adım 2 — Her iki tarafın türevi alınır

Türev alırken zincir kuralını kullanacağız.

Soldan:

\frac{d}{dx} f\left(\frac{g(x)}{x}\right) = f'\left(\frac{g(x)}{x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{x}\right)

Sağdan:

\frac{d}{dx} g(f(x) \cdot x) = g'(f(x)x) \cdot \frac{d}{dx}(f(x) x)

Adım 3 — İç türevleri hesapla

Önce soldaki iç türev:

\frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{x}\right) = \frac{x g'(x) - g(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x g'(x) - g(x)}{x^2}

Sağdaki iç türev:

\frac{d}{dx} (f(x) \cdot x) = f'(x) \cdot x + f(x) \cdot 1 = x f'(x) + f(x)

Adım 4 — Denklemi türevlenmiş haliyle yaz

f'\left(\frac{g(x)}{x}\right) \cdot \frac{x g'(x) - g(x)}{x^2} = g'(f(x) x) \cdot (x f'(x) + f(x))

Adım 5 — x=2 değerlerini kullan

Verilenler:

g(2) = 4
f(2) = 2
g'(2) = 1
g'(4) = 1

Şimdi ifadenin içindeki terimlerin değerlerini hesaplayalım:

\frac{g(2)}{2} = \frac{4}{2} = 2
f(2) \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4

Bu durumda türev fonksiyonlarının argümanları f' ve g' için:

f'\left(\frac{g(2)}{2}\right) = f'(2) (bulmak istediğimiz)
g'(f(2) \cdot 2) = g'(4) = 1 (verilen)

Adım 6 — Sayısal değerleri denklemde yerine koy

Sol tarafın iç türevi:

\frac{2 \cdot g'(2) - g(2)}{2^2} = \frac{2 \cdot 1 - 4}{4} = \frac{2 - 4}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

Denklik:

f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 \cdot (2 f'(2) + 2)

Sol taraf: -\frac{1}{2} f'(2)

Sağ taraf: 2 f'(2) + 2

Adım 7 — f'(2) için denklem çöz

-\frac{1}{2} f'(2) = 2 f'(2) + 2

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

- f'(2) = 4 f'(2) + 4

- f'(2) - 4 f'(2) = 4

-5 f'(2) = 4

f'(2) = -\frac{4}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: f'(2) = -\frac{4}{5}, yani şıklara göre E seçeneği
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Temel Kavramlar:

Zincir kuralı: Karmaşık fonksiyonların türevini almak için iç fonksiyonlar zincirinin türevleri çarpılır.
Fonksiyon türevi: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim hızıdır.
Verilen değerlerin kullanımı: Türevi aranan fonksiyonun ve yardımcı fonksiyonların değerleri belirlenen noktada türev hesabını mümkün kılar.

Yaygın Hatalar:

İç fonksiyonun türevinin ihmal edilmesi

Yanlış: Doğrudan sadece dış fonksiyonun türevi alınması
Doğru: Zincir kuralı uygulanarak iç fonksiyonun türevi de çarpılır
Neden yanlış: Zincir kuralı uygulanmadan türev doğru hesaplanmaz ve sonuç hatalı olur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuda başka örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Nisan 20, 2026, 4:01ös

f ve g tanımlı oldukları aralıkta türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere, \displaystyle f\!\bigg(\frac{g(x)}{x}\bigg)=g\big(f(x)\cdot x\big) olarak veriliyor. g(2)=4,\; f(2)=2,\; g'(2)=g'(4)=1 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun üzerindeki x=2 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Zincir Kuralı: \dfrac{d}{dx} f(u(x)) = f'(u(x))\cdot u'(x)
Bölme (Quotient) Kuralı: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Her iki tarafın türevini al

Soldaki ifade:

f\!\bigg(\frac{g(x)}{x}\bigg)

\text{Türev} = f'\!\bigg(\frac{g(x)}{x}\bigg)\cdot \frac{d}{dx}\!\left(\frac{g(x)}{x}\right)

Sağdaki ifade:

g\big(f(x)\cdot x\big)

\text{Türev} = g'\big(f(x)\cdot x\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(f(x)\cdot x\big)

Bu iki türev eşittir:

f'\!\bigg(\frac{g(x)}{x}\bigg)\cdot \frac{d}{dx}\!\left(\frac{g(x)}{x}\right) = g'\big(f(x)\cdot x\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(f(x)\cdot x\big)

Adım 2 — \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{g(x)}{x}\right) hesapla (Bölme kuralı uygulanır)

Başlangıç ifadesi:

\frac{d}{dx}\!\left(\frac{g(x)}{x}\right)

= \frac{g'(x)\cdot x - g(x)\cdot 1}{x^2}

x = 2 için değerleri yerine koy:

Birinci terim:

g'(2)\cdot 2

= 1\cdot 2

= 2

İkinci terim:

g(2)\cdot 1

= 4\cdot 1

= 4

Pay:

2 - 4

= -2

Payda:

2^2

= 4

Bölüm:

\frac{-2}{4}

= -\frac{1}{2}

Dolayısıyla:

\left.\frac{d}{dx}\!\left(\frac{g(x)}{x}\right)\right|_{x=2} = -\frac{1}{2}

Adım 3 — \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\cdot x\big) hesapla

Başlangıç ifadesi:

\frac{d}{dx}\big(f(x)\cdot x\big)

Çarpım kuralı uygulanır:

= f'(x)\cdot x + f(x)\cdot 1

x = 2 için:

= f'(2)\cdot 2 + f(2)

= 2f'(2) + 2

Adım 4 — Eşitliği x = 2 için yaz ve çöz

Sol taraf (x=2):

f'\!\bigg(\frac{g(2)}{2}\bigg)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)

İç değer:

\frac{g(2)}{2}

= \frac{4}{2}

= 2

Dolayısıyla sol taraf:

f'(2)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)

Sağ taraf (x=2):

g'\big(f(2)\cdot 2\big)\cdot \big(2f'(2)+2\big)

İç değer:

f(2)\cdot 2

= 2\cdot 2

= 4

Ve g'(4)=1 verildiğinden sağ taraf:

1\cdot \big(2f'(2)+2\big)

= 2f'(2)+2

Eşitlik:

f'(2)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2f'(2)+2

Bu denklemi çöz:

Birinci adım:

-\frac{1}{2}f'(2) - 2f'(2) = 2

İkinci adım:

\left(-\frac{1}{2} - 2\right) f'(2) = 2

Üçüncü adım:

-\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}

Dördüncü adım:

-\frac{5}{2} f'(2) = 2

Beşinci adım:

f'(2) = \frac{2}{-\frac{5}{2}}

Altıncı adım:

f'(2) = 2\cdot \left(-\frac{2}{5}\right)

Yedinci adım:

f'(2) = -\frac{4}{5}

CEVAP: \displaystyle -\frac{4}{5}

TEMEL KAVRAMLAR:

Zincir Kuralı

Tanım: Bileşke fonksiyonların türevini alırken iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevinin çarpılması gerekir.
Bu problemde: f(g(x)/x) ve g(f(x)\cdot x) ifadelerinin türevlerinde zincir kuralı kullanıldı.

Bölme (Quotient) Kuralı

Tanım: İki fonksiyonun bölümünün türevi \dfrac{u'v-uv'}{v^2} formülüne göre bulunur.
Bu problemde: \dfrac{g(x)}{x} ifadesinin türevinin hesaplanmasında kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

İç değerlendirmeyi yanlış hesaplama

Yanlış: g(2)/2 yerine farklı bir değer kullanmak veya g'(4) yerine g'(2) kullanmak.
Doğru: İç ifadeleri x=2 için doğru değerlere (ör. g(2)=4, f(2)=2) yerine koymak.
Neden yanlış: Zincir kuralında türev dış fonksiyonun doğru iç değeri üzerinden alınır.
Düzeltme: Önce iç ifadeyi x=2 için hesapla, sonra dış fonksiyonun türeviden yararlan.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!