Düşey Doğrultuda Yukarı Atılan Topun Havada Kalma Süresi, Konum ve Hız Değerleri
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Çıkış süresi: t_{\text{çıkış}} = \frac{v_0}{g}
- Toplam uçuş süresi: t_{\text{uçuş}} = 2 \times t_{\text{çıkış}}
- Anlık hız denklemi: v(t) = v_0 - g \cdot t
- Anlık konum (yükseklik) denklemi: y(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çıkış ve Toplam Uçuş (Havada Kalma) Süresinin Hesaplanması
Topun tepe noktasında anlık hızı sıfır (v = 0) olur.
Hava sürtünmesi ihmal edildiği için çıkış süresi iniş süresine eşittir:
Adım 2 — Saniyeler İçin Hız Değerlerinin Hesaplanması
v(t) = 20 - 10 \cdot t bağıntısına göre:
- t = 0\text{ s} \rightarrow v(0) = 20 - 10(0) = +20\text{ m/s} (Yukarı yönlü)
- t = 1\text{ s} \rightarrow v(1) = 20 - 10(1) = +10\text{ m/s} (Yukarı yönlü)
- t = 2\text{ s} \rightarrow v(2) = 20 - 10(2) = 0\text{ m/s} (Tepe noktası)
- t = 3\text{ s} \rightarrow v(3) = 20 - 10(3) = -10\text{ m/s} (Aşağı yönlü)
- t = 4\text{ s} \rightarrow v(4) = 20 - 10(4) = -20\text{ m/s} (Aşağı yönlü)
Adım 3 — Saniyeler İçin Konum Değerlerinin Hesaplanması
y(t) = 20 \cdot t - 5 \cdot t^2 bağıntısına göre (Elin konumu y = 0\text{ m} kabul edilmiştir):
- t = 0\text{ s} \rightarrow y(0) = 20(0) - 5(0)^2 = 0\text{ m}
- t = 1\text{ s} \rightarrow y(1) = 20(1) - 5(1)^2 = 15\text{ m}
- t = 2\text{ s} \rightarrow y(2) = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20\text{ m} (Maksimum yükseklik)
- t = 3\text{ s} \rightarrow y(3) = 20(3) - 5(3)^2 = 60 - 45 = 15\text{ m}
- t = 4\text{ s} \rightarrow y(4) = 20(4) - 5(4)^2 = 80 - 80 = 0\text{ m} (Tekrar elde)
Adım 4 — Zaman, Konum ve Hız Veri Seti Tablosu
| Zaman (t) | Konum (y) | Hız (v) | Hareket Durumu |
|---|---|---|---|
| 0\text{ s} | 0\text{ m} | +20\text{ m/s} | Fırlatılma anı (Yukarı) |
| 1\text{ s} | 15\text{ m} | +10\text{ m/s} | Yavaşlayarak yükseliyor |
| 2\text{ s} | 20\text{ m} | 0\text{ m/s} | Maksimum yükseklik (Anlık durur) |
| 3\text{ s} | 15\text{ m} | -10\text{ m/s} | Hızlanarak düşüyor |
| 4\text{ s} | 0\text{ m} | -20\text{ m/s} | Ele çarpma anı (Aşağı) |
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Topun havada kalma süresi **4\text{ saniye}**dir. Zaman, konum ve hız değerleri yukarıdaki veri tablosunda belirtilmiştir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Düşey Atışta Simetri
- Tanım: Sürtünmesiz ortamda düşey atılan cisimlerin yükselme süresi iniş süresine, atıldığı andaki sürati de yere düştüğü andaki süratine eşittir.
- Bu problemde: Top 2\text{ s}'de çıkıp 2\text{ s}'de inmiş; 20\text{ m/s} ile atılıp aynı noktaya -20\text{ m/s} hızla dönmüştür.
2. Tepe Noktasında Hız ve İvme
- Tanım: Cismin tepe noktasında anlık hızı sıfırdır, ancak yerçekimi ivmesi (g = 10\text{ m/s}^2) her an aşağı doğru etki etmeye devam eder.
- Bu problemde: t = 2\text{ s} anında v = 0\text{ m/s} olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Havada Kalma Süresini Sadece Çıkış Süresi Olarak Almak
- Yanlış: Uçuş süresini t = 2\text{ s} olarak kabul etmek.
- Doğru: Uçuş süresi çıkış ve iniş sürelerinin toplamıdır (t_{\text{uçuş}} = 2 + 2 = 4\text{ s}).
- Neden yanlış: 2\text{ s} yalnızca topun maksimum yüksekliğe ulaştığı süredir; topun ele geri dönmesi için 2\text{ s} daha geçmesi gerekir.
Bu hareketin konum-zaman (x-t) ve hız-zaman (v-t) grafiklerinin nasıl çizileceğini detaylandırmamı ister misin?