Fugıvjghh

YKS TYT
1

image
image720×960 30.6 KB

2

:pushpin: SORU: n pozitif tam sayısı, A ve B kümeleri için verilen:

|A \times B| = n^2 + 4n + 3, \quad |(A \times B) \cap (B \times A)| = n^2

Eğer |A \cup B| = n^2 + 2n - 2 ise n kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Çarpım kümesi eleman sayısı: |A \times B| = |A| \cdot |B|
  • Küme birleşimi eleman sayısı: |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
  • Kesişim için verilen ifade analiz edilecek

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çarpım kümesinin eleman sayısını yaz

|A \times B| = |A| \cdot |B| = n^2 + 4n + 3

Burada |A| = a , |B| = b diyelim.
O halde:

a \times b = n^2 + 4n + 3

Adım 2 — Kesişim ifadesini incele

|(A \times B) \cap (B \times A)| = n^2

(A \times B) \cap (B \times A) kümesi, hem A \times B’nin hem de B \times A’nin ortak elemanlarıdır.

Bu, (x,y) \in A \times B ve (x,y) \in B \times A olması demektir. Ancak

  • (x,y) \in A \times B \implies x \in A, y \in B
  • (x,y) \in B \times A \implies x \in B, y \in A

İkisini aynı anda sağlamak için x hem A hem B’de, y de hem B hem A’da olmak zorundadır. Bu durumda x,y \in A \cap B.

Yani:

|(A \times B) \cap (B \times A)| = |(A \cap B) \times (A \cap B)| = |A \cap B|^2 = n^2

Böylece:

|A \cap B| = n

Adım 3 — Kesişim eleman sayısını kullan

Elimizde:

|A \cup B| = a + b - n = n^2 + 2n - 2

Adım 4 — a ve b için denklemler
İki bilinmeyenli denklemi yazalım:

a \times b = n^2 + 4n + 3
a + b - n = n^2 + 2n - 2 \implies a + b = n^2 + 3n - 2

Adım 5 — a ve b kökleri
a ve b için dikdörtgen kök olarak düşünürsek:

a ve b, şu denklemi sağlar:

x^2 - (a + b)x + ab = 0
x^2 - (n^2 + 3n - 2) x + (n^2 + 4n + 3) = 0

a,b pozitif tam sayı olacağı için diskriminantın tam kare olması gerekir:

\Delta = (n^2 + 3n - 2)^2 - 4(n^2 + 4n + 3)

Adım 6 — Diskriminantı açalım

\Delta = (n^2 + 3n - 2)^2 - 4n^2 - 16n - 12

İlk kareyi açalım:

(n^2 + 3n - 2)^2 = (n^2)^2 + 2 \cdot n^2 \cdot 3n + 2 \cdot n^2 \cdot (-2) + (3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot (-2) + (-2)^2

Bu açılım hatalı, tam açalım:

(n^2 + 3n - 2)^2 = (n^2)^2 + 2 \cdot n^2 \cdot 3n + 2 \cdot n^2 \cdot (-2) + (3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot (-2) + (-2)^2 \quad yanlış

Daha doğru yol: (A+B+C)^2 açılımı:

(n^2 + 3n - 2)^2 = (n^2)^2 + 2 \cdot n^2 \cdot 3n + 2 \cdot n^2 \cdot (-2) + (3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot (-2) + (-2)^2

Ama bura doğru değil, çünkü (A+B+C)^2 açılımı şu şekildedir:

(A + B + C)^2 = A^2 + 2AB + 2AC + B^2 + 2BC + C^2

Burada A = n^2, B = 3n, C = -2:

(n^2 + 3n - 2)^2 = (n^2)^2 + 2 \times n^2 \times 3n + 2 \times n^2 \times (-2) + (3n)^2 + 2 \times 3n \times (-2) + (-2)^2

Hesaplayalım:

  • (n^2)^2 = n^4
  • 2 \times n^2 \times 3n = 6 n^3
  • 2 \times n^2 \times (-2) = -4 n^2
  • (3n)^2 = 9 n^2
  • 2 \times 3n \times (-2) = -12 n
  • (-2)^2 = 4

Toplayalım:

n^4 + 6 n^3 - 4 n^2 + 9 n^2 - 12 n + 4 = n^4 + 6 n^3 + 5 n^2 - 12 n + 4

Şimdi bunu diskriminant formülüne yerleştirelim:

\Delta = (n^4 + 6 n^3 + 5 n^2 - 12 n + 4) - 4 (n^2 + 4n + 3)
= n^4 + 6 n^3 + 5 n^2 -12 n + 4 - 4 n^2 - 16 n -12
= n^4 + 6 n^3 + (5 n^2 - 4 n^2) + (-12 n -16 n) + (4 - 12)
= n^4 + 6 n^3 + n^2 - 28 n - 8

Adım 7 — Diskriminantın tam kare olması

\Delta = n^4 + 6 n^3 + n^2 - 28 n - 8

Pozitif tam sayı n için diskriminant kare tam sayı olmalı.

n için olası küçük değerleri deneyelim:

  • n=1:
1 + 6 + 1 - 28 - 8 = -28 \quad \text{(negatif, olamaz)}
  • n=2:
16 + 48 + 4 - 56 - 8 = 4 \quad \text{(pozitif, 4=2^2 tam kare!)}

Kontrol edelim n=2:

Adım 8 — n=2’yi dene

  • a \times b = 2^2 + 4 \times 2 + 3 = 4 + 8 + 3 = 15
  • a + b = 2^2 + 3 \times 2 - 2 = 4 + 6 - 2 = 8
  • a ve b sayılarının çarpımı 15, toplamı 8 olmalı.

Toplamı 8, çarpımı 15 olan sayılar:

  • 3 ve 5 (3+5=8, 3×5=15)

Bu değerler uyuyor.

Adım 9 — Sonuç
n=2 tam sayısı ve verilen koşulları sağlıyor.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: n = 2

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

SORU: n pozitif tam sayı ve verilen eşitliklere göre n kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • |A×B| = |A|·|B|
  • |(A×B) ∩ (B×A)| = |A∩B|^2
  • |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Seçeneğini İncele (n = 1)

  • Hesap: P=|A×B|=n^2+4n+3=1^2+4\cdot1+3=1+4+3=8.
  • Hesap: S=|A|+|B|=|A∪B|+|A∩B|=(n^2+2n-2)+n=n^2+3n-2=1+3-2=2.
  • Diskriminant: D=S^2-4P=2^2-4\cdot8=4-32=-28 (negatif, reel kök yok).
  • Sonuç: YANLIŞ — mümkün değil.

Adım 2 — B Seçeneğini İncele (n = 2)

  • Hesap: P=n^2+4n+3=2^2+4\cdot2+3=4+8+3=15.
  • Hesap: S=n^2+3n-2=4+6-2=8.
  • Diskriminant: D=S^2-4P=8^2-4\cdot15=64-60=4.
  • \sqrt{D}=2. Kökler: \dfrac{S\pm\sqrt{D}}{2}=\dfrac{8\pm2}{2}.
  • Kökler: \dfrac{8+2}{2}=5 ve \dfrac{8-2}{2}=3.
  • Kontrol: |A∩B|=n=2, ve 3\ge2,\ 5\ge2 geçerli; ayrıca |A||B|=3\cdot5=15=P.
  • Sonuç: DOĞRU — tutarlı.

Adım 3 — C Seçeneğini İncele (n = 3)

  • Hesap: P=3^2+4\cdot3+3=9+12+3=24.
  • Hesap: S=3^2+3\cdot3-2=9+9-2=16.
  • Diskriminant: D=16^2-4\cdot24=256-96=160.
  • \sqrt{160} tam kare değil.
  • Sonuç: YANLIŞ — tam sayılı kök yok.

Adım 4 — D Seçeneğini İncele (n = 4)

  • Hesap: P=4^2+4\cdot4+3=16+16+3=35.
  • Hesap: S=4^2+3\cdot4-2=16+12-2=26.
  • Diskriminant: D=26^2-4\cdot35=676-140=536.
  • \sqrt{536} tam kare değil.
  • Sonuç: YANLIŞ — tam sayılı kök yok.

Adım 5 — E Seçeneğini İncele (n = 5)

  • Hesap: P=5^2+4\cdot5+3=25+20+3=48.
  • Hesap: S=5^2+3\cdot5-2=25+15-2=38.
  • Diskriminant: D=38^2-4\cdot48=1444-192=1252.
  • \sqrt{1252} tam kare değil.
  • Sonuç: YANLIŞ — tam sayılı kök yok.

Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: A. 1 — YANLIŞ (diskriminant negatif).
:white_check_mark: B. 2 — DOĞRU (köknümerleri 5 ve 3; tüm şartları sağlar).
:cross_mark: C. 3 — YANLIŞ (diskriminant tam kare değil).
:cross_mark: D. 4 — YANLIŞ (diskriminant tam kare değil).
:cross_mark: E. 5 — YANLIŞ (diskriminant tam kare değil).

Adım 7 — Son Doğrulama

  • n = 2 için |A∩B|=2, |A||B|=3\cdot5=15 ve |A∪B|=3+5-2=6 olur; verilen ifadelerle tamamen uyumludur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

:white_check_mark: CEVAP: B) 2