Ftz, 102 FtzIK II FINAL SINAV SORULARI Sorulardan sadece S tanesi Yaplacaktur

Üniversite
1

Soru:
Ftz, 102 FtzIK II FINAL SINAV SORULARI
Sorulardan sadece S tanesi Yaplacaktur. Xapmadigınz Sorunun Bulundugu Kutucugn (X) laareti KoxanuE.
O1/06/2016
TOPLAM 1
Adı -Soyadı1
Oğr.
No
Sube
Sinav Süresi 60 dakika dır
(ku9x0 N. m/, &
8,8XÍ0-1 cN mt)
saplh bir halka dzerinde düzgün olarak dağılmış artı bir Q
yüku bulunmaktadır. Halka ekseninde, halka merkezinden x
uzaklıgnda bir P noktasındaki elektrik alanını hesaplayınz.
dE

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

a yarıçaplı bir halka üzerinde düzgün olarak dağılmış artı bir Q yükü bulunmaktadır. Halka ekseninde, halka merkezinden x uzaklığında bir P noktasındaki elektrik alanını hesaplayınız.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Elektrik alanın süperpozisyon prensibi ile hesaplanması.
  • Eleman yükün elektrik alanı: d\mathbf{E} = k \frac{dq}{r^2} \hat{r} , burada k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}
  • Halka üzerinde simetri nedeniyle elektrik alan bileşenlerinin bazıları birbirini yok eder.
  • r = \sqrt{a^2 + x^2} (P noktasına olan uzaklık)
  • dq = \frac{Q}{2 \pi a} a d\theta = \frac{Q}{2\pi} d\theta (düzgün dağılmış yük)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eleman yük ve uzaklık belirleme
Halka üzerindeki bir eleman dq = \frac{Q}{2\pi} d\theta yüküne sahiptir.
P noktası haldan r = \sqrt{a^2 + x^2} uzaklıktadır.

Adım 2 — Eleman elektrik alanı büyüklüğü
Eleman yükün P noktasında yarattığı elektrik alan büyüklüğü:

dE = k \frac{dq}{r^2} = k \frac{\frac{Q}{2\pi} d\theta}{a^2 + x^2}

Adım 3 — Elektrik alan bileşenleri ve simetri
Halka doğrultusunda elektrik alanın bileşenleri dE_x ve dE_\perp olarak ayrılır.

Bu bileşenlerden halka simetrik olduğu için dE_\perp bileşenleri karşılıklı birbirini yok eder, sadece halka ekseni doğrultusundaki bileşenler kalır.
Bileşen:

dE_x = dE \cos \theta = k \frac{\frac{Q}{2\pi} d\theta}{a^2 + x^2} \cdot \frac{x}{r} = k \frac{Q}{2\pi} \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} d\theta

Adım 4 — Bütün halkaya entegre etme
Toplam elektrik alan:

E_x = \int_0^{2\pi} dE_x = k \frac{Qx}{2\pi (a^2 + x^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi} d\theta = k \frac{Qx}{(a^2 + x^2)^{3/2}}

Adım 5 — Sonuç ifadesi
Elektrik alan vektörü halka ekseni boyunca ve uzaklık x’te:

\mathbf{E} = \hat{x} \cdot k \frac{Q x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}

Burada:

  • k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}
  • a halka yarıçapı
  • Q toplam yük
  • x halka merkezinden P noktasına olan uzaklık

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

\mathbf{E} = \hat{x} \cdot \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

a yarıçaplı bir halka üzerinde düzgün olarak dağılmış artı bir Q yükü bulunmaktadır. Halka ekseninde, halka merkezinden x uzaklığında bir P noktasındaki elektrik alanını hesaplayınız.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Coulomb Yasası: $$d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2},\hat{r}$$

Süperpozisyon ilkesi: Toplam alan, tüm küçük elemanların alanlarının vektörel toplamıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Yük yoğunluğu ve küçük eleman

\lambda=\frac{Q}{2\pi a}
dl=a\,d\phi
dq=\lambda\,dl
dq=\lambda\,a\,d\phi
dq=\frac{Q}{2\pi}\,d\phi

Adım 2 — Bir küçük elemanın P noktasındaki alan büyüklüğü ve eksen bileşeni

Bir küçük elemanın P noktasına uzaklığı:

r'=\sqrt{x^2+a^2}

Bir küçük elemanın alan büyüklüğü (kurulum):

dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r'^2}
r'^2=x^2+a^2
dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{x^2+a^2}

Eksenel bileşen için kosinüs:

\cos\theta=\frac{x}{r'}
dE_x=dE\cos\theta
dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{x^2+a^2}\cdot\frac{x}{r'}
dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{x^2+a^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}
dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,dq\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}}

Adım 3 — Tüm halka için entegrasyon

Kurulum (toplam eksenel alan):

E_x=\int_0^{2\pi} dE_x
E_x=\int_0^{2\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,dq\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}}
dq=\frac{Q}{2\pi}\,d\phi
E_x=\int_0^{2\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q}{2\pi}\,d\phi\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}}

Sabitleri integral dışına çıkar:

E_x=\frac{Qx}{8\pi^2\epsilon_0}\cdot\frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi} d\phi

İntegrali hesapla:

\int_0^{2\pi} d\phi=2\pi

Yerine koy:

E_x=\frac{Qx}{8\pi^2\epsilon_0}\cdot\frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}\cdot 2\pi

Sabitleri sadeleştir:

E_x=\frac{Qx}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}

Yön belirtimi: Yük pozitif ise alan, merkezin dışına doğru (eksende +x yönünde) olur.

:white_check_mark: CEVAP:

\mathbf{E}(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Qx}{(x^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{x}

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Coulomb Yasası
  • Tanım: Noktasal bir yükün yarattığı elektrik alan büyüklüğü.
  • Bu problemde: Halka üzerindeki her küçük yük elemanı için uygulandı ve süperpozisyon ile toplandı.
  1. Süperpozisyon
  • Tanım: Elektrik alanların vektörel toplamı toplam alanı verir.
  • Bu problemde: Halka üzerindeki tüm dq’ların eksenel bileşenleri toplandı; eksene dik bileşenler simetri nedeniyle iptal oldu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Eksen dışı bileşenleri dahil etmek

  • Yanlış: Her dq için dik bileşenleri toplamak.
  • Doğru: Simetri nedeniyle dik bileşenlerin toplamı sıfırdır; yalnızca eksenel bileşen toplanır.
  • Neden yanlış: Zıt konumdaki çiftler birbirini yok eder.
  • Düzeltme: Sadece eksenel bileşenleri entegrasyona alınız.

:cross_mark: dq ifadesini yanlış yazmak

  • Yanlış: dq = Q dφ / (2π a) gibi hatalar.
  • Doğru: dq = (Q/2π) dφ veya dq = λ a dφ ile doğru ifade edilir.
  • Neden yanlış: Yüzey/çizgi yoğunluğu ve diferansiyel uzunluk doğru birleştirilmelidir.
  • Düzeltme: λ = Q/(2π a) ve dl = a dφ kullanın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?