$\frac{d}{dx} \left( \int{1}^{5} f(x) \, dx \right)$ İfadesinin Değerini Bulunuz

YKS TYT
1

dx
ifadesinin değerini bulunuz.

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli800×600 38.3 KB

2

\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{5} f(x) \, dx \right) İfadesinin Değerini Bulunuz

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]

Bu sorunun çözümü için belirli integralin türevi kuralını ve sabit sayının türevi prensibini bilmemiz gerekir:

  1. Sınırları sabit olan bir belirli integral, her zaman sabit bir sayıya (C) eşittir.
  2. Herhangi bir sabit sayının türevi ise sıfırdır: \frac{d}{dx}(C) = 0.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Belirli İntegral İfadesini İnceleme
Parantez içindeki ifadeye bakalım: \int_{1}^{5} f(x) \, dx. Bu ifade 1 ve 5 sınırları arasında hesaplanan belirli bir integraldir. Fonksiyonun (f(x)) ne olduğu önemli değildir; sınır değerleri sabit olduğu için bu işlemin sonucu reel bir sayı çıkacaktır.

Adım 2 — İntegralin Bir Sabit Olduğunu Belirleme
Diyelim ki \int f(x) \, dx = F(x) + C olsun.
\int_{1}^{5} f(x) \, dx = F(5) - F(1) olur.
F(5) ve F(1) birer değer olduğu için sonuç bir sabit sayıdır.

Adım 3 — Türev İşlemini Uygulama
Soruda bizden bu sabit sayının x değişkenine göre türevini almamız isteniyor:

\frac{d}{dx} (\text{Sabit Sayı})

Türev kurallarına göre, bir sabitin türevi her zaman 0’dır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Belirli İntegral

  • [Tanım:] Belirli bir aralıkta fonksiyonun altında kalan alanı temsil eden ve sonucu sayısal bir değer olan işlemdir.
  • [Bu problemde:] İntegral sınırları (1 ve 5) sabit olduğu için içerideki ifade bir sabittir.

2. Türev ve Sabit İlişkisi

  • [Tanım:] Bir fonksiyonun değişim hızıdır. Sabit fonksiyonlar değişmediği için türevleri sıfırdır.
  • [Bu problemde:] Sabit bir değerin x değişkenine göre değişimi olmadığı için sonuç 0 çıkmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Türev ve İntegrali Birbirini Götürüyor Sanmak

  • Yanlış: Sonucu f(x) olarak bulmak. Bu sadece sınırlar değişken (x gibi) olduğunda (Leibniz Kuralı) geçerlidir.
  • Doğru: Sınırlar sayısal ise integralin sonucu bir sayıdır ve sayının türevi 0 olur.
  • Neden Yanlış: Belirli bir integralde sonuç artık bir değişken değil, sabit bir değerdir.

Bu çözümdeki mantığı pekiştirmek için, integralin sınırlarından biri x olsaydı sonucun nasıl değişeceğini göstermemi ister misin?