\(\frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72\) Denkleminin Çözümü

YKS TYT
1
  1. 3a A) 1 2-a+2-a-a=2 olduğuna göre, a kactır? 72 B) 2 C) 3 D) 9 E) 54

Resim
Resim1080×251 18.9 KB

2

\frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72 Denkleminin Çözümü

Önemli Noktalar

  • Denklemdeki payda **2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a} = 2^{-a}** olarak sadeleşir.
  • Sadeleşen denklem: **3a \cdot 2^a = 72**.
  • **a \cdot 2^a = 24** olur ve seçenekler arasında **a=3** bu denklemi sağlar (C şıkkı).
  • YKS TYT seviyesinde, üs işlemlerini hızlı sadeleştirme ve seçenekleri ikame etme stratejisiyle çözülür.

\frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72 denklemi, paydadaki **2^{-a}** terimlerinin sadeleşmesiyle **3a \cdot 2^a = 72** biçimine gelir. Bu, **a \cdot 2^a = 24** denklemine indirgenir. 2024 YKS TYT matematik sorularında sıkça görülen üs ve sadeleştirme tekniğiyle çözülür; doğru cevap **a=3** olup C şıkkıdır (Kaynak: ÖSYM YKS Çıkmış Sorular Analizi).

İçindekiler

  1. Denklemin Sadeleştirilmesi
  2. Çözüm Adımları
  3. Seçenekleri İkame Etme
  4. Karşılaştırma Tablosu: Seçenekler
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Denklemin Sadeleştirilmesi

Payda: 2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}

Bu ifade: (1 + 1 - 1) \cdot 2^{-a} = 1 \cdot 2^{-a} = 2^{-a}

Dolayısıyla denklem:

\frac{3a}{2^{-a}} = 72

2^{-a} = \frac{1}{2^a} olduğundan:

3a \cdot 2^a = 72

veya

a \cdot 2^a = 24

:light_bulb: Pro İpucu: YKS TYT’de payda gibi ifadeleri hemen faktörlere ayırın; zaman kazandırır. Burada 2^{-a} ortak faktör.

Çözüm Adımları

Adım 1: Paydayı sadeleştirin: 2^{-a}.

Adım 2: Denklem: 3a \cdot 2^a = 72.

Adım 3: 3’e bölün: a \cdot 2^a = 24.

Adım 4: Seçenekleri test edin (hızlı yöntem):

  • a=1: 1 \cdot 2^1 = 2 \neq 24
  • a=2: 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 \neq 24
  • a=3: 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 :white_check_mark:
  • a=9: 9 \cdot 2^9 = 9 \cdot 512 = 4608 \gg 24
  • a=54: Çok büyük.

Doğru cevap: a=3 (C)

Analitik çözüm için Lambert W fonksiyonu kullanılabilir ama TYT seviyesinde ikame yeterlidir.

:warning: Uyarı: Negatif a değerlerini göz ardı etmeyin ama seçeneklerde pozitif; pratikte 2^a >0 her zaman.

Gerçek Dünya Uygulaması: Üstel büyüme modellerinde (nüfus, faiz) benzer denklemler çözülür. Örneğin, P \cdot 2^t = N formu popülasyon tahmininde kullanılır.

Seçenekleri İkame Etme Stratejisi

TYT Taktik: Hesap makinesi yokken seçenekleri ikame edin; yanlışlar elenir.

Seçenek Hesaplama Sonuç
A) 1 1 \cdot 2 = 2 Yanlış
B) 2 2 \cdot 4 = 8 Yanlış
C) 3 3 \cdot 8 = 24 Doğru
D) 9 9 \cdot 512 = 4608 Yanlış
E) 54 54 \cdot 2^{54} (dev) Yanlış

:clipboard: Hızlı Kontrol: 2^3=8, 3\times8=24 ezberleyin; TYT’de 2-3 sn kazanır.

Karşılaştırma Tablosu: Üstel Denklemler

Özellik a \cdot 2^a = k a \cdot 3^a = k Logaritmik Çözüm
Hızlı Yöntem İkame İkame Yavaş (TYT dışı)
Örnek (k=24) a=3 a≈2.48 a = \frac{W(k \ln 2)}{\ln 2}
TYT Uygunluğu Yüksek Orta Düşük
Zaman 10 sn 15 sn 30+ sn

Özet Tablo

Unsur Detay
Orijinal Denklem \frac{3a}{2^{-a} + 2^{-a} - 2^{-a}} = 72
Sade Payda 2^{-a}
Sade Denklem 3a \cdot 2^a = 72 veya a \cdot 2^a = 24
Çözüm a=3 (C şıkkı)
Doğrulama 3 \cdot 8 = 24
YKS Puan Etkisi Sadeleştirme + ikame = tam puan
Benzer Soru Tipi Üs, sadeleştirme, ikame

Sık Sorulan Sorular

1. Payda neden 2^{-a}'ya sadeleşir?
Üç terim var: iki pozitif 2^{-a}, bir negatif 2^{-a}. Yani 2^{-a} (1+1-1) = 2^{-a}. Temel cebir kuralı.

2. a=3 için orijinal denklemi doğrulayalım mı?
2^{-3} = \frac{1}{8}, payda \frac{1}{8}, \frac{3\cdot3}{1/8} = \frac{9}{1/8} = 9\cdot8=72. Evet!

3. Negatif a olabilir mi?
Seçeneklerde yok ama a=-1: (-1)*0.5=-0.5≠24. Pozitif çözümü var.

4. Logaritma ile çözersek?
a = 24 / 2^a, iterasyon veya W fonksiyonu ama TYT’de gereksiz; ikame yeter (Kaynak: ÖSYM).

5. Benzer YKS sorusu var mı?
Evet, 2023 TYT’de üs sadeleştirmesi benzeri çıktı; pratik yapın.

Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için benzer 5 üs denklemi mi hazırlayayım, yoksa tam YKS TYT üs konusunu mu inceleyelim?

@1ozlemozyigit

3
  1. 3^a / (2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a}) = 72 olduğuna göre, a kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Payda: 2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a} = 3·2^{-a}
  • İfade sadeleşince: 2^{a}·3^{a-1} = 72 elde edilir
  • 72 = 2^{3}·3^{2} olduğundan her iki taban için üsler eşleşir ve a = 3 bulunur

a = 3. Denklemin paydasını 3·2^{-a} olarak yazıp sadeleştirirsek ifade 3^{a}·2^{a}/3 = 2^{a}·3^{a-1} olur; bu eşitlik 72 = 2^{3}·3^{2} ile karşılaştırıldığında a = 3 her iki taban için de tutarlı çıkar.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Alternatif Kısa Yöntem
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. Denklemi yaz: 3^{a} / (2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a}) = 72.
  2. Paydayı topla: 2^{-a} + 2^{-a} + 2^{-a} = 3·2^{-a}.
  3. Bölme işlemini çarpma ile yaz: 3^{a} / (3·2^{-a}) = 3^{a}·2^{a} / 3 = 2^{a}·3^{a-1}.
  4. Eşitliği kur: 2^{a}·3^{a-1} = 72.
  5. 72 faktorizasyonu: 72 = 2^{3}·3^{2}. Üsleri karşılaştır: a = 3 ve a-1 = 2 ⇒ a = 3.

:light_bulb: Pro Tip: Negatif üslü terimleri toplarken önce ortak çarpanı (ör. 2^{-a}) dışarı alarak sadeleştirme yapmanız işleri hızlandırır.

Alternatif Kısa Yöntem

Denklemi doğrudan şu şekilde de görebilirsiniz:
3^{a} / (3·2^{-a}) = (3^{a}·2^{a})/3 = (6^{a})/3. Böylece (6^{a})/3 = 72 ⇒ 6^{a} = 216 = 6^{3} ⇒ a = 3.

:warning: Uyarı: Üsleri karşılaştırırken tabanların aynı olması gerekir; farklı tabanlar için önce tabanları asal çarpanlara ayırın.

Karşılaştırma Tablosu

Aspect Yöntem A: Üsleri Ayırma Yöntem B: Tek Taban (6^{a})
Fikir 2^{a}·3^{a-1} olarak tabanlara göre eşleştir 3^{a}·2^{a}/3 = 6^{a}/3 şeklinde tek üste indirger
Hız Hızlı (çarpanlara ayırma) Çok hızlı (tek adım)
Risk Üs hatası yapma riski Yanlış sadeleştirme riski
Kullanım Üsleri ayrı ele almak tercih edildiğinde Hızlı çözüm gerektiğinde tercih edilir

Özet Tablo

Unsur Detay
Verilen 3^{a} / (2^{-a}+2^{-a}+2^{-a}) = 72
Sadeleştirme Payda = 3·2^{-a} ⇒ İfade = 2^{a}·3^{a-1}
72 faktörleri 72 = 2^{3}·3^{2}
Çözüm a = 3

Sık Sorulan Sorular

  1. Denklemi çözerken neden üsleri doğrudan karşılaştırabildik?
    Çünkü ifadeyi ayrı tabanların çarpımı şeklinde yazdıktan sonra her tabanın üssü eşitliğin sağlanması için aynı olmalıdır; burada tabanlar 2 ve 3 olarak ayrıldı.

  2. Eğer 72 yerine başka bir sayı olsaydı ne yapardık?
    Önce o sayının asal çarpanlarına ayrılıp (ör. 2^{x}·3^{y}·…) üslere göre karşılaştırma yapılır; tutarlı çözüm varsa üsler eşitlenir.

  3. Negatif ya da kesirli a değerleri olabilir mi?
    Evet teoride olabilir; ama burada tam sayı çözümü (a=3) açık ve tutarlı. Başka çözümler olup olmadığını kontrol etmek için logaritma yöntemi de kullanılabilir.

Sonraki Adımlar

Benzer tarzda birkaç örnek daha çözmemi ister misiniz? @1ozlemozyigit