- Gerçel sayılarda tanımlı,
f(x) = x°- 6x + m
fonksiyonununx eksenini üc farklLnoktada kesmesi
için m’nin alacağı kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) 17
B) 23
C) 29
D) 31
E) 37
Üçüncü Dereceden Fonksiyonların Kök Analizi ve Yerel Ekstremumlar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Başkatsayısı pozitif olan üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun (f(x)) x eksenini 3 farklı noktada kesmesi (3 farklı gerçel kökünün bulunması) için yerel maksimum ve yerel minimum noktalarında zıt işaretli değerler alması gerekir; yani f(x_{\text{maks}}) \cdot f(x_{\text{min}}) < 0 eşitsizliği sağlanmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Yerel Ekstremum Noktalarının Belirlenmesi
Soruda verilen f(x) = x^3 - 6x^2 + m fonksiyonunun tepe ve çukur noktalarını bulmak için birinci türevi alınıp sıfıra eşitlenir:
f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0 \quad \text{ve} \quad x_2 = 4
Adım 2 — Ekstremum Değerlerinin Hesaplanması
Fonksiyonun başkatsayısı pozitif (1 > 0) olduğundan, x = 0 noktasında yerel maksimum, x = 4 noktasında yerel minimum değeri oluşur:
f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + m = m
f(4) = 4^3 - 6(4^2) + m = 64 - 96 + m = m - 32
Adım 3 — Kök Şartının Uygulanması ve Tam Sayı Sayımı
Fonksiyonun x eksenini üç farklı noktada kesebilmesi için yerel maksimum değerinin pozitif, yerel minimum değerinin ise negatif olması gerekir:
f(0) > 0 \implies m > 0
f(4) < 0 \implies m - 32 < 0 \implies m < 32
Buradan m parametresinin tanım aralığı 0 < m < 32 olarak elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar m \in \{1, 2, 3, \dots, 31\} kümesidir.
\text{Terim Sayısı} = 31 - 1 + 1 = 31
CEVAP: D) 31 (0 < m < 32)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eğer m = 0 veya m = 32 olsaydı, ekstremum noktalarından biri x eksenine teğet olacağından fonksiyonun 1 tek katlı ve 1 çift katlı olmak üzere yalnızca 2 farklı gerçel kökü bulunurdu. Bu sebeple sınır değerleri aralığa dahil edilmez.