3y2x
3x(x-4)
12. Gerçel sayılarda tanimlı,
f(x) = x- 6x + m
fonksiyonunun X eksenini üc farklnoktada kesmesi
için m’nin alacağı kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) 17
B) 23
C) 29
D) 31
E) 37
11-0
12-D
Üçüncü Dereceden Fonksiyonların Kök Sayısı ve Ekstremum Noktaları Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun x eksenini üç farklı noktada kesmesi (üç farklı gerçel kökünün olması) için yerel ekstremum değerlerinin zıt işaretli olması gerekir; yani yerel maksimum ve yerel minimum değerleri için f(x_{\text{maks}}) \cdot f(x_{\text{min}}) < 0 şartı sağlanmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ekstremum Noktalarının Türev ile Bulunması
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevi alınıp sıfıra eşitlenir:
f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4) = 0
Buradan türevin kökleri x_1 = 0 ve x_2 = 4 olarak elde edilir. Başkatsayı pozitif olduğu için x = 0 apsisli nokta yerel maksimum, x = 4 apsisli nokta ise yerel minimum noktasıdır.
Adım 2 — Yerel Maksimum ve Minimum Değerlerinin Hesaplanması
Bulunan apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılarak ekstremum değerleri m cinsinden ifade edilir:
f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + m = m
f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + m = 64 - 96 + m = m - 32
Adım 3 — Üç Farklı Reel Kök Şartı ve m Değer Aralığı
Grafiğin x eksenini üç farklı noktada kesmesi için yerel maksimum değeri pozitif, yerel minimum değeri ise negatif olmalıdır (f(0) > 0 ve f(4) < 0):
m > 0 \quad \text{ve} \quad m - 32 < 0 \implies 0 < m < 32
Bu eşitsizliği sağlayan m tam sayıları 1, 2, 3, \dots, 31 olup toplam terim sayısı:
31 - 1 + 1 = 31 \text{ tanedir.}
CEVAP: D) 31 (0 < m < 32)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eğer soru kökünde “fonksiyonun x eksenine teğet olması” istenseydi f(x_{\text{maks}}) = 0 veya f(x_{\text{min}}) = 0 şartı aranır ve m = 0 veya m = 32 değerleri alınırdı. Üç farklı kesim noktası için sınır değerleri (0 ve 32) dahil edilmez.