Soru:
f(x) =
X +3
(m
+ 2)x^{2} + 8x + 2m -7
-,0,1,2,3-
fonksiyonunun sürekli olmadiğg iki farkli x değerini
çarpimı negatif olduğuna göre, m’nin alabileceği kaç
farklı tam sayı değeri vardır?
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
Fonksiyonunun sürekli olmadığı iki farklı x değerinin çarpımı negatif olduğuna göre, m’nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun sürekli olmaması, genellikle tanımsız noktaların olması veya limitlerin birbirine eşit olmaması anlamına gelir. Fonksiyon tanımında payda sıfır yaptığında fonksiyon süreksiz olur. Bu tür problemlerde;
- Paydanın kökleri süreksizlik noktalarıdır.
- Bu noktaların çarpımının negatif olması, bu iki kökün farklı işaretlerde olduğunu (birisi negatif, diğeri pozitif) gösterir.
- Payda polinomunun diskriminantı, köklerin gerçek ve birbirinden farklı olması için pozitiftir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun tanımsız olduğu noktaları bulalım
Fonksiyon:
f(x) = \frac{x+3}{(m+2)x^2 + 8x + 2m -7}
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar paydanın kökleridir. Payda sıfır yapıldığında;
(m+2)x^2 + 8x + 2m -7 = 0
Adım 2 — Paydanın köklerini bulma koşulları
Payda polinomunun kökleri gerçek olmalı ve farklı olmalıdır, yani diskriminant pozitif olmalı:
\Delta = 8^2 - 4(m+2)(2m-7) > 0
64 - 4(m+2)(2m-7) > 0
64 - 4[(m+2)(2m-7)] > 0
Çarpımı açalım:
(m+2)(2m -7) = 2m^2 -7m + 4m -14 = 2m^2 -3m -14
Şimdi:
64 - 4(2m^2 -3m -14) > 0
64 - 8m^2 + 12m + 56 > 0
120 + 12m - 8m^2 > 0
Bunu standart forma getirelim:
-8m^2 + 12m + 120 > 0
Her tarafı -1 ile çarpalım (yönü değiştirir):
8m^2 - 12m -120 < 0
Adım 3 — Bu ikinci dereceden eşitsizliği çözelim
Denklemin kökleri:
8m^2 - 12m -120 = 0
Önce sadeleştirelim:
Her terimi 4’e bölelim:
2m^2 - 3m - 30 = 0
Diskriminantı bulalım:
\Delta_m = (-3)^2 - 4(2)(-30) = 9 + 240 = 249
Kökler:
m = \frac{3 \pm \sqrt{249}}{4}
Yaklaşık olarak:
m_1 = \frac{3 - 15.78}{4} = \frac{-12.78}{4} = -3.195
m_2 = \frac{3 + 15.78}{4} = \frac{18.78}{4} = 4.695
Eşitsizliğimiz:
2m^2 - 3m - 30 < 0
İkinci dereceden parabol aşağı doğru açtığı için, köklerin arasında küçüktür:
-3.195 < m < 4.695
Adım 4 — İki kökün çarpımı negatif olması
Kökler:
x_1, x_2 \quad \text{paydada}
Köklerin çarpımı:
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2m -7}{m+2}
Burada a = m+2, c = 2m-7.
Çarpımın negatif olması gerekir:
\frac{2m -7}{m+2} < 0
Bölme işleminin işaretini göz önüne alarak işaret analizi yapalım.
- Payın işareti: 2m - 7 = 0 \Rightarrow m = 3.5
- Paydanın işareti: m + 2 = 0 \Rightarrow m = -2
İşaret aralıklarını yazalım:
| m Aralığı | 2m -7 | m + 2 | Bölüm İşareti |
|---|---|---|---|
| -\infty, -2 | Negatif | Negatif | Pozitif |
| -2, 3.5 | Negatif | Pozitif | Negatif |
| 3.5, \infty | Pozitif | Pozitif | Pozitif |
Çarpımın negatif olması m için:
-2 < m < 3.5
Adım 5 — m aralığını birleştirelim
İki şart var:
- Kökler gerçek ve farklı olmalı:
-3.195 < m < 4.695
- Kökler çarpımı negatif olmalı:
-2 < m < 3.5
Birleşim:
-2 < m < 3.5
Adım 6 — m’nin alabileceği tam sayıları bulalım
Bu aralıkta kaç tam sayı var?
m = -1, 0, 1, 2, 3
Toplam 5 farklı tam sayı değeri.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: m’nin alabileceği 5 farklı tam sayı değeri vardır.
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Süreksizlik ve Tanımsız Noktalar
- Paydanın sıfır olduğu noktalar fonksiyonun süreksiz olduğu noktalardır.
- Burada süreksizlik noktaları paydanın kökleridir.
2. Diskriminant
- İkinci dereceden polinomun diskriminantı köklerin gerçek ve farklı olma şartını belirler.
3. İşaret Analizi
- Köklerin çarpımının negatif olması için pay ve paydanın işaretleri farklı olmalıdır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Fonksiyonunun sürekli olmadığı iki farklı x değerinin çarpımı negatif olduğuna göre, m’nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Süreksizlik noktaları paydanın kökleridir: payda = 0 ⇒ süreksizlik.
- İki kökün çarpımı = \dfrac{c}{a} (ikinci dereceden denklem ax^2+bx+c için).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Payda ve köklerin çarpımı
Fonksiyonun paydası:
(m+2)x^{2}+8x+2m-7
Paydanın katsayıları:
a=m+2,\quad b=8,\quad c=2m-7
İki kökün çarpımı:
\frac{c}{a}=\frac{2m-7}{m+2}
Adım 2 — Çarpımın negatif olması şartı
Çarpım negatif olsun:
\frac{2m-7}{m+2}<0
Bu kesrin işareti zıt işaretli pay ve payda ile sağlanır.
Birinci durum (pay < 0 ve payda > 0):
2m-7<0
m<\tfrac{7}{2}
ve
m+2>0
m>-2
Bunların birleşimi:
-2<m<\tfrac{7}{2}
İkinci durum (pay > 0 ve payda < 0) mümkün değildir çünkü
2m-7>0 \Rightarrow m>\tfrac{7}{2}
ve
m+2<0 \Rightarrow m<-2
bu iki şart aynı anda sağlanamaz.
Dolayısıyla çarpım negatif olması için
-2<m<\tfrac{7}{2}
olmalıdır.
Adım 3 — İki farklı (gerçek) kökün olması şartı (Δ>0)
Diskriminant:
\Delta=b^{2}-4ac
\Delta=64-4(m+2)(2m-7)
Çarpımı açalım:
(m+2)(2m-7)=2m^{2}-3m-14
Buna göre:
\Delta=64-4\bigl(2m^{2}-3m-14\bigr)
\Delta=64-8m^{2}+12m+56
\Delta=-8m^{2}+12m+120
İki farklı gerçek kök için:
\Delta>0
Bu eşitsizliği düzenleyelim:
-8m^{2}+12m+120>0
8m^{2}-12m-120<0
2m^{2}-3m-30<0
Katsayıların köklerini bulalım:
2m^{2}-3m-30=0
m=\frac{3\pm\sqrt{9+240}}{4}
m=\frac{3\pm\sqrt{249}}{4}
Bu kökler yaklaşık olarak:
m\approx-3{,}195\quad\text{ve}\quad m\approx4{,}695
Dolayısıyla
-3{,}195<m<4{,}695
aralığında \Delta>0 olur.
Adım 4 — Koşulların kesişimi ve tam sayıların sayılması
Çarpımın negatif olması şartından:
-2<m<\tfrac{7}{2}
Diskriminant şartından:
-3{,}195<m<4{,}695
Bu iki aralığın kesişimi:
-2<m<\tfrac{7}{2}
Bu aralıkta olan tam sayılar:
m=-1,\;0,\;1,\;2,\;3
(toplam 5 değer)
TEMEL KAVRAMLAR:
- Süreksizlik noktası: Paydanın kökleridir; pay ve paydanın ortak kökleri de orijinal ifade için süreksizlik yaratır.
- Köklerin çarpımı: İkinci dereceden denklemlerde köklerin çarpımı c/a ile verilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ortak kökün göz ardı edilmesi
- Yanlış: Eğer pay ve payda aynı kökü paylaşıyorsa bunu süreksizlik saymamak.
- Doğru: Orijinal fonksiyon ifadesinde payda sıfırsa nokta tanımsızdır; bu yüzden süreksizlik vardır.
- Neden yanlış: Paydadaki sıfır noktası fonksiyonun tanımlı olmadığı noktadır.
- Düzeltme: Ortak kök olsa bile o x değeri süreksizdir.
CEVAP: m’nin alabileceği farklı tam sayı değeri sayısı 5’tir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?