37-)
tan x
f(x)=
2 sin x -1
fonksiyonunun süre kli olduğu en geniş araltk R-A
olduğuna göre, A kümesinin [O, 2] araliğında kaç ele-
mani vardır?
Soru Fotoğrafı:
Fonksiyonun Sürekli Olduğu En Geniş Aralık ve A Kümesinin Eleman Sayısı
Fonksiyon:
f(x) = \frac{\tan x}{2 \sin x - 1}
Fonksiyonun sürekli olması için payda sıfır olmamalıdır ve tan x fonksiyonunun tanımsız olduğu noktalar da hariç tutulmalıdır.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Tanımsızlıkları Bulma
- Paydadaki ifade sıfır olmamalıdır:
2 \sin x - 1 \neq 0 \implies \sin x \neq \frac{1}{2}
- Tan x fonksiyonunun tanımsız olduğu noktalar:
x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Adım 2 — [0, 2\pi] Aralığında Bu Noktaları Belirleme
- \sin x = \frac{1}{2} denkleminin çözümleri:
x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6}
- Tan x’in tanımsız olduğu noktalar:
x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{2}
Adım 3 — Fonksiyonun Sürekli Olduğu Aralığı Bulma
- Fonksiyon, [0, 2\pi] aralığında yukarıdaki dört nokta dışındaki tüm noktalarda süreklidir.
- A kümesi sürekli olmadığı noktaların oluşturduğu kümedir.
- Bu nedenle:
A = \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right\}
Adım 4 — Eleman Sayısı
- A kümesinin [0, 2 \pi] aralığındaki eleman sayısı 4’tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Pro İpucu: Payda sıfıra eşit olduğu ve payda veya paydadaki fonksiyonların tanımsız olduğu noktalar sürekli olma aralığından çıkarılır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
f(x)=\dfrac{\tan x}{2\sin x-1} fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık \mathbb{R}-A olduğuna göre, A kümesinin [0,2\pi] aralığında kaç elemanı vardır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir rasyonel trigonometrik ifade ancak tanımlı olduğu her noktada süreklidir.
- Bu nedenle fonksiyonun tanımsız olduğu tüm x değerleri A kümesini oluşturur.
- Tanımsızlık koşulları: \cos x=0 (çünkü \tan x tanımsızdır) veya 2\sin x-1=0.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanımsızlık koşullarını yaz
Birinci koşul:
\cos x=0
= \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}
İkinci koşul:
2\sin x-1=0
= \sin x=\frac{1}{2}
= \displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi veya x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}
Adım 2 — [0,2\pi] aralığındaki çözümleri tek tek belirle
Birinci koşuldan \cos x=0 için:
\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi
= k=0 için x=\frac{\pi}{2}
= k=1 için x=\frac{3\pi}{2}
= diğer k değerleri [0,2\pi] dışında
İkinci koşuldan \sin x=\tfrac{1}{2} için:
\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi
= k=0 için x=\frac{\pi}{6}
\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
= k=0 için x=\frac{5\pi}{6}
= diğer k değerleri [0,2\pi] dışında
Adım 3 — A kümesini ve eleman sayısını belirle
A kümesinin [0,2\pi] içindeki elemanları:
\displaystyle \left\{\frac{\pi}{6},\;\frac{5\pi}{6},\;\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}\right\}
Bu kümenin eleman sayısı 4’tür.
CEVAP: 4
TEMEL KAVRAMLAR:
-
Süreklilik
- Tanım: Bir fonksiyon tanımlı olduğu noktada limit değeri fonksiyon değerine eşitse o noktada süreklidir.
- Bu problemde: Fonksiyon ancak tanımlı olduğu değerlerde süreklidir; tanımsız noktalar A kümesini oluşturur.
-
Trigonometrik fonksiyonların periyodik çözümleri
- Tanım: \cos x=0 ve \sin x=\tfrac{1}{2} gibi denklemlerin genel çözümleri periyodiktir.
- Bu problemde: Bu genel çözümler kullanılarak [0,2\pi] içindeki özel çözümler bulundu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: Sadece \sin x=\tfrac{1}{2} çözümlerini sayıp \cos x=0 çözümlerini atlamak.
- Yanlış: Yalnızca \frac{\pi}{6} ve \frac{5\pi}{6} sayılır.
- Doğru: \frac{\pi}{2} ve \frac{3\pi}{2} de eklenmelidir.
- Neden yanlış: \tan x tanımsız olduğu için \cos x=0 noktaları da fonksiyonun tanımsız olduğu noktalardır.
- Düzeltme: Her iki koşulu da hesaba katın ve ortak eleman olup olmadığını kontrol edin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?