y =mx
A)-6
Xn
fonksiyonunun grafiğinin Ox eksenine paralel teğetle-
rinin degme noktalarının apsisleri X Ve x dir.
X1+ X2 = 12 olduğuna göre, n kaçtır?
B)4
C) 2
D) 3
E) 6
Soru Fotoğrafı:
Fonksiyonun Ox eksenine paralel teğetlerinin değme noktalarının apsisleri ve n değeri sorusu
Fonksiyon:
y = m^2 x + \frac{4}{x - n}
Sorunun Özeti:
Fonksiyonun grafiğinin Ox eksenine paralel teğetlerinin değme noktalarının apsisleri x_1 ve x_2 olarak verilmiştir.
Ayrıca x_1 + x_2 = 12 olduğuna göre, n kaçtır?
Kural / Formül:
- Ox eksenine paralel teğetler, fonksiyonun türevinden yola çıkarak elde edilir. Çünkü teğetin eğimi (türev) Ox eksenine paralel ise, teğetin eğimi sıfırdır.
- Yani, y' türevinin değeri 0 olacak şekilde değme noktaları bulunur.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Türevi Bulalım
Fonksiyon:
y = m^2 x + \frac{4}{x - n}
Burada m sabit bir katsayıdır.
Türevi alalım:
y' = m^2 + \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{x-n} \right)
\frac{d}{dx} \left( \frac{4}{x-n} \right) = 4 \cdot \frac{d}{dx}(x-n)^{-1} = 4 \cdot (-1)(x-n)^{-2} = -\frac{4}{(x-n)^2}
Böylece türev:
y' = m^2 - \frac{4}{(x-n)^2}
Adım 2 — Türev 0’a Eşitleyelim (Ox eksenine paralel teğet için):
m^2 - \frac{4}{(x-n)^2} = 0
m^2 = \frac{4}{(x-n)^2}
(x-n)^2 = \frac{4}{m^2}
x - n = \pm \frac{2}{m}
x = n \pm \frac{2}{m}
Adım 3 — Değme Noktalarının Apsislerinin Toplamı:
Verilmiş:
x_1 + x_2 = 12
Bizim bulduğumuz:
x_1 = n + \frac{2}{m}, \quad x_2 = n - \frac{2}{m}
Toplamları:
x_1 + x_2 = \left(n + \frac{2}{m}\right) + \left(n - \frac{2}{m}\right) = 2n
Yani:
2n = 12 \implies n = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: \boxed{6} (E şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Türev: Fonksiyonun eğimini bulmak için kullanılır.
- Teğet eğimi: Ox eksenine paralel ise eğim sıfırdır.
- Değme noktası: Teğetin fonksiyonla sadece bir noktada kesildiği yerdir.
Yaygın Hatalar:
- Türevi tamamlamadan teğet eğimini sıfıra eşitlememek.
- Değme noktalarının toplamını yanlış yorumlamak.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
y = m^{2}x + \dfrac{4}{x-n} fonksiyonunun grafiğinin Ox eksenine paralel teğetlerinin değme noktalarının apsisleri x_{1} ve x_{2} dir. x_{1}+x_{2}=12 olduğuna göre n kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Türev alımı ve yatay teğet için türevin 0 olması kuralı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyon ve türevi
Fonksiyon:
y = m^{2}x + \dfrac{4}{x-n}
Türevini alalım:
y' = m^{2} - \dfrac{4}{(x-n)^{2}}
Adım 2 — Yatay teğet koşulu (türev = 0) ve denklem çözümü
Yatay teğet için:
m^{2} - \dfrac{4}{(x-n)^{2}} = 0
m^{2} = \dfrac{4}{(x-n)^{2}}
(x-n)^{2} = \dfrac{4}{m^{2}}
x - n = \pm \dfrac{2}{m}
Bu durumda teğet noktalarının apsisleri:
Birinci kök:
x_{1} = n + \dfrac{2}{m}
İkinci kök:
x_{2} = n - \dfrac{2}{m}
Adım 3 — Köklerin toplamı ve n nin bulunması
Köklerin toplamı:
x_{1} + x_{2} = \bigg(n + \dfrac{2}{m}\bigg) + \bigg(n - \dfrac{2}{m}\bigg)
x_{1} + x_{2} = 2n
Verilen bilgiye göre:
2n = 12
n = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: n = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev
- Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını verir.
- Bu problemde: Yatay teğetler için türevin 0 olması kullanıldı.
- Yatay teğet
- Tanım: Eğimin (türev) 0 olduğu noktadaki teğet.
- Bu problemde: Bu koşuldan x değerleri elde edildi ve toplamları kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
± işaretini unutmak
- Yanlış: Sadece x=n+\dfrac{2}{m} alınır.
- Doğru: x-n=\pm \dfrac{2}{m} olmalı, iki kök bulunur.
- Neden yanlış: Karekök alırken işaret ihmal edilirse diğer kök kaybolur.
- Düzeltme: Her zaman ± dikkate alınmalı.
m=0 durumunu düşünmemek
- Yanlış: m=0 kabul edilirse başlangıç ifadesi farklı davranır.
- Doğru: m≠0 varsayımıyla işlem yapıldı; m=0 özel durum ayrı incelenir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?