f(x) = \frac{mx + n}{|x - 2|} &, x < 1 \\ x^2 + 3x + 1 &, x \geq 1
fonksiyonunun gerçel sayılarda türevli olduğu bilindiğine göre, m^2 - n ifadesinin değeri kaçtır?
A) -6
B) -5
C) 5
D) 6
E) 10
Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik ve Türevlenebilirlik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması, ardından o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bölümün türevi kuralı: \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} şeklinde uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — x < 1 İçin Mutlak Değerin Açılması ve Süreklilik Şartı
x < 1 aralığında x - 2 < 0 olduğundan mutlak değer |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x olarak çıkar. Fonksiyon tüm gerçel sayılarda türevli ise kritik nokta olan x = 1’de sürekli olmalıdır (\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)):
\lim_{x \to 1^-} \frac{mx + n}{2 - x} = \frac{m + n}{2 - 1} = m + n
f(1) = 1^2 + 3(1) + 1 = 5 \implies m + n = 5
Adım 2 — Soldan ve Sağdan Türevlerin Eşitliği
x < 1 için bölümün türevi alınarak sol türev hesaplanır:
f'(x) = \frac{m(2 - x) - (mx + n)(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{2m + n}{(2 - x)^2} \implies f'(1^-) = \frac{2m + n}{(2 - 1)^2} = 2m + n
x > 1 için sağ türev hesaplanır:
f'(x) = 2x + 3 \implies f'(1^+) = 2(1) + 3 = 5
Türevlenebilirlik gereği f'(1^-) = f'(1^+) olmalıdır:
2m + n = 5
Adım 3 — Bilinmeyenlerin ve İstenen İfadenin Bulunması
Elde edilen iki denklem ortak çözülür:
\begin{cases} 2m + n = 5 \\ m + n = 5 \end{cases} \implies m = 0, \quad n = 5
Buradan istenen m^2 - n değeri:
m^2 - n = 0^2 - 5 = -5
CEVAP: B) -5 (m^2 - n = -5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir parçalı fonksiyonun türevlenebilirliği incelenirken yalnızca türevlerin eşitliğine bakmak yetersizdir; süreklilik kontrolü yapılmazsa birden fazla bilinmeyen içeren sorularda eksik denklemle karşılaşılır.