- A
f(x) =-x-3x + (m + 1)x + 10
fonksiyonunun daima azalan oimasinı sağlayan
m değerlerinin çözüm araliğı aşağidakilerden
hangisidir?
A) (-, -4]
B) (4, co)
D) (-oo, -4)
C) (-4, 4]
E) (-, 2)
Soru Fotoğrafı:
Fonksiyonun Daima Azalan Olmasını Sağlayan m Değerlerinin Çözüm Aralığı
Kullanılan Kural: Bir fonksiyonun daima azalan olması için türevinin tüm tanım kümesinde negatif veya sıfırdan küçük olması gerekir:
f'(x) < 0 \quad \text{tüm } x \in \mathbb{R}
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Fonksiyonun Türevini Bulma
Verilen fonksiyon:
f(x) = -x^3 - 3x^2 + (m + 1)x + 10
Türevi:
f'(x) = -3x^2 - 6x + (m + 1)
Adım 2 — Türev Fonksiyonunun İşaretini İnceleme
Fonksiyonun türevinin her x için negatif olması gerekiyor:
-3x^2 - 6x + (m + 1) < 0 \quad \forall x
Bunu şu şekilde yazabiliriz:
-3x^2 - 6x + (m + 1) < 0
Adım 3 — Türev Fonksiyonunun En Büyük Değerini Bulma
Bu ikinci dereceden bir fonksiyondur ve katsayısı negatif (-3) olduğu için bir aşağıya açık parabol. Parabolun en büyük değeri tepe noktasındadır.
Türev fonksiyonunun tepe noktası:
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \times (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1
Tepe noktasındaki türev değeri:
f'(x_0) = f'(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) + (m+1) = -3 + 6 + m + 1 = m + 4
Adım 4 — Tepe Noktasındaki Değerin Negatif Olması Koşulu
Fonksiyonun türevinin her yerde negatif olması için en yüksek değeri negatif olmalı:
m + 4 < 0
m < -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: m < -4 , yani çözüm aralığı:
A şıkkı: (-\infty, -4)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Türev ve Azalan Fonksiyon
- Tanım: Fonksiyonun türevi negatifse, fonksiyon azalan olur.
- Bu problemde: Türevin tüm değerleri negatif olmalı.
2. Parabolun Tepesi ve Maksimum Değer
- İkinci dereceden fonksiyon yukarıya veya aşağıya açılır.
- Maksimum/minimum noktası türevin sıfır olduğu noktadır.
Yaygın Hata:
- Yanlış: Türevin sıfır olduğu noktaları negatif işaretle kontrol etmemek.
- Doğru: En büyük türev değerinin negatif olduğunu kanıtlamak gerekir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuda başka örnek çözümü ister misin?
f(x) = -x^3 - 3x^2 + (m + 1)x + 10 fonksiyonunun daima azalan olmasını sağlayan m değerlerinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun tüm ℝ için daima azalan olması için türevinin her x için ≤ 0 olması gerekir. İkinci derece bir polinomun tüm x için ≥ 0 olması için katsayısı pozitif olmalı ve diskriminant ≤ 0 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Türevi al
Fonksiyon:
f(x) = -x^3 - 3x^2 + (m+1)x + 10
Birinci terim:
\frac{d}{dx}(-x^3)
= $$-3x^2$$
İkinci terim:
\frac{d}{dx}(-3x^2)
= $$-6x$$
Üçüncü terim:
\frac{d}{dx}((m+1)x)
= $$m+1$$
Toparlama:
f'(x) = -3x^2 - 6x + (m+1)
Adım 2 — Daima azalan olma şartını uygula
Şart:
f'(x) \le 0\quad\text{her }x\in\mathbb{R}
Bu eşitsizliği tersine çevirip işaret değiştirirsek gerekli koşul:
-f'(x) \ge 0\quad\text{her }x\in\mathbb{R}
Yani:
3x^2 + 6x - (m+1) \ge 0\quad\text{her }x\in\mathbb{R}
Burada katsayı 3>0 olduğundan, bu ikinci dereceden ifadenin tüm x için ≥ 0 olması için diskriminantın ≤ 0 olması gerekir.
Diskriminant:
D = 6^2 - 4\cdot 3 \cdot (-(m+1))
= $$36 + 12(m+1)$$
= $$36 + 12m + 12$$
= $$48 + 12m$$
Koşul:
48 + 12m \le 0
= $$12m \le -48$$
= $$m \le -4$$
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: m \in (-\infty,\,-4]
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev ve Monotonluk
- Tanım: Bir fonksiyonun türevi her yerde ≤ 0 ise fonksiyon azalan (non-increasing) olur; türev < 0 çoğunlukla sağlam ise fonksiyon sıkı (strict) olarak azalan olur.
- Bu problemde: Türevi hesaplayıp işaretini inceleyerek koşul elde edildi.
- Diskriminant Şartı
- Tanım: İkinci dereceden bir ifadenin tüm x için ≥ 0 olması için katsayı pozitif olmalı ve diskriminant ≤ 0 olmalıdır.
- Bu problemde: Bu şarttan m \le -4 sonucu bulundu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Diskriminant işaretini yanlış kullanmak
- Yanlış: Diskriminantı ≥ 0 koşulu aramak.
- Doğru: Katsayı pozitif olduğunda tüm x için ≥ 0 olması için diskriminant ≤ 0 olmalıdır.
- Neden yanlış: ≥ 0 olursa kökler gerçel ve parabol iki tarafta negatif olabilir.
- Düzeltme: Parabolün yönünü kontrol edin (a>0) ve sonra D ≤ 0 şartını kullanın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!