Fonksiyonun Türevi ve Yerel Ekstremum Noktalarının Analizi

YKS TYT
1
  1. a sifırdan farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere
    gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir
    olan
    f(x) = ax^{3} + 3ax? + 1
    fonksiyonunun x eksenine paralel olan teğetlerinin
    arasındaki uzaklık 8 birimdir.
    Buna göre f(1) değeri kaçtır?
    A) 6
    B) 7
    C) 8
    D) 9
    E) 10

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 58.5 KB

2

Fonksiyonun Türevi ve Yerel Ekstremum Noktalarının Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir fonksiyonun yatay teğetleri (eksenlere paralel teğetler), fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu f'(x) = 0 noktalarında bulunur. Bu noktalar fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun Türevini Alalım
Verilen fonksiyon: f(x) = ax^3 + 3ax^2 (Görseldeki ifadeye göre fonksiyon f(x) = ax^3 + 3ax^2’dir).
Türev: f'(x) = 3ax^2 + 6ax

Adım 2 — Türevi Sıfıra Eşitleyerek Kritik Noktaları Bulalım
3ax^2 + 6ax = 0
3ax(x + 2) = 0 buradan kökler:
x_1 = 0 ve x_2 = -2 olarak bulunur.

Adım 3 — Teğetler Arasındaki Mesafeyi Hesaplayalım
Yatay teğetler bu x değerlerindeki y değerlerinden geçer. Teğetler arasındaki mesafe, yerel maksimum ve yerel minimum değerleri arasındaki farktır.

  • x = 0 için: f(0) = a(0)^3 + 3a(0)^2 = 0
  • x = -2 için: f(-2) = a(-2)^3 + 3a(-2)^2 = -8a + 12a = 4a

Teğetler arasındaki mesafe |4a - 0| = 8 birim olarak verilmiştir.
|4a| = 8 \Rightarrow a = 2 (Soruda a > 0 olduğu varsayılır, seçenekler de buna uygundur).

Adım 4 — f(1) Değerini Bulalım
a = 2 olduğuna göre fonksiyonumuz: f(x) = 2x^3 + 6x^2 şeklindedir.
Bizden istenen f(1) değeri:
f(1) = 2(1)^3 + 6(1)^2 = 2 + 6 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 8 (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Türev ve Teğet Eğimi

  • Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadan çizilen teğetin eğimini verir.
  • Bu problemde: Yatay teğetlerin eğimi 0 olduğu için türevi sıfıra eşitleyerek teğetlerin geçtiği noktaları bulduk.

2. Yerel Ekstremum Değerleri

  • Tanım: Fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya tam tersine geçtiği tepe ve çukur değerleridir.
  • Bu problemde: Teğetler arasındaki 8 birimlik mesafe, fonksiyonun tepe noktası ile çukur noktası arasındaki dikey uzaklıktır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kökleri Yanlış Bulmak

  • Yanlış: Türev aldıktan sonra x değerlerini 0 ve 2 olarak bulmak.
  • Doğru: 3ax(x+2)=0 denkleminde köklerden biri -2 olmalıdır.
  • Neden: İşaret hatası mesafeyi değiştirmese de fonksiyonun genel yapısını yanlış anlamanıza neden olur.

:cross_mark: Mesafeyi Yatay Uzaklık Sanmak

  • Yanlış: x_1 ve x_2 arasındaki farkı 8 birim almak.
  • Doğru: Teğetler y ekseni üzerinde farklı konumlardadır, bu yüzden y değerleri arasındaki farka bakılmalıdır.

Bu çözümde takıldığın veya benzer mantıkla başka bir soru tipi çözmemi ister misin?