Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar, Pozitif ve Negatifliği, Artan-Azalan Aralıklar

Question Answer
1

Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar, Pozitif ve Negatifliği, Artan-Azalan Aralıklar
f: [a, b] to mathbb{R} olmak üzere, y = f(x) fonksiyonu daima azalan bir fonksiyondur.
a < k < p < b olmak üzere,
I. f(k) < f(b)
II. f(p) < f(a)
III. f(a) - f(k) > 0
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve III
E) II ve III

Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar, Pozitif ve Negatifliği, Artan-Azalan Aralıklar...
Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar, Pozitif ve Negatifliği, Artan-Azalan Aralıklar...1024×768 123 KB

2

Azalan Fonksiyonlarda Değer Karşılaştırması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir f fonksiyonu bir aralıkta daima azalan ise, bu aralıktaki her x_1 ve x_2 elemanı için:

x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)

kuralı geçerlidir. Yani tanım kümesindeki girdiler büyüdükçe, fonksiyonun aldığı değerler küçülür (eşitsizlik yön değiştirir).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI & ÖNCÜL ANALİZİ:

Verilen sıralama:

a < k < p < b

  • I. Öncül: f(k) < f(b)

    • k < b olduğundan, f daima azalan bir fonksiyon olduğu için:
      $$f(k) > f(b)$$ olmalıdır.
    • Dolayısıyla I. öncül yanlıştır.

  • II. Öncül: f(p) < f(a)

    • a < p olduğundan, azalanlık kuralına göre:
      f(a) > f(p) \iff f(p) < f(a)
    • Dolayısıyla II. öncül daima doğrudur.

  • III. Öncül: f(a) - f(k) > 0

    • a < k olduğundan, azalanlık kuralına göre:
      f(a) > f(k)
    • f(k) ifadesini eşitsizliğin sol tarafına alırsak:
      $$f(a) - f(k) > 0$$ elde edilir.
    • Dolayısıyla III. öncül daima doğrudur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E — II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Azalan Fonksiyon: Bağımsız değişken (x) arttıkça bağımlı değişkenin (y) azaldığı fonksiyon türüdür. Bu nedenle eşitsizlik sıralaması fonksiyon değerlerine aktarılırken tersine döner.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Sıralama a < k < p < b olduğunda görüntülerin de aynı sırada kalacağını düşünerek f(a) < f(k) < f(p) < f(b) şeklinde yazmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Azalan fonksiyonlarda girdiler büyüdükçe sonuçlar küçüleceğinden eşitsizliğin yönü değişir: f(a) > f(k) > f(p) > f(b).

Benzer bir mantıkla pekiştirme yapmak adına, fonksiyonun daima artan olduğu bir durum için benzer bir soru çözmek ister misin?