2
f(x) =
(a+3)x -3
X-4
fonksiyonu kendisinin tersi ile aynı olduğuna göre,
a kaçtır?
A)-7
D) -3
E) 3
B) 1
C) 2
Rasyonel Fonksiyonun Tersi ve Eşitliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
f(x) = \dfrac{kx + m}{cx + d} biçimindeki bir rasyonel fonksiyonun tersi:
f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + m}{cx - k}
Bir fonksiyonun tersi kendisine eşit ise (f(x) = f^{-1}(x)), paydaki x’in katsayısı ile paydadaki sabit sayının toplamı sıfır olmalıdır:
k = -d \quad \text{veya} \quad k + d = 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyondaki Katsayıları Belirleme
Verilen f(x) = \dfrac{(a+3)x - 3}{x - 4} fonksiyonunu genel kalıp f(x) = \dfrac{kx + m}{cx + d} ile eşleştirelim:
k = a + 3
d = -4
Adım 2 — Fonksiyonun Tersini Kurala Göre Yazma
Kural gereği paydaki x’in katsayısı (a+3) ile paydadaki sabit terim (-4) yer ve işaret değiştirir:
f^{-1}(x) = \dfrac{-(-4)x - 3}{x - (a+3)} = \dfrac{4x - 3}{x - (a+3)}
Adım 3 — Fonksiyonu Tersi ile Eşitleme
f(x) = f^{-1}(x) olduğu verildiğine göre:
\dfrac{(a+3)x - 3}{x - 4} = \dfrac{4x - 3}{x - (a+3)}
Pay kısımlarındaki x’in katsayılarının birbirine eşit olması gerekir:
a + 3 = 4
a = 4 - 3
a = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B seçeneğidir (a = 1).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kendine Ters Fonksiyon (İnvolüsyon): f(f(x)) = x veya f(x) = f^{-1}(x) şartını sağlayan fonksiyonlardır. Rasyonel doğrusal fonksiyonlarda bu durum paydaki x’in katsayısı ile paydadaki sabitin zıt işaretli eşit olması (k = -d) ile sağlanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ters fonksiyon alırken sadece paydadaki sabit sayının işaretini değiştirmek veya katsayıların yerini değiştirmeyi unutmak.- Doğru Yaklaşım: Hem paydaki x’in katsayısının hem de paydadaki sabit terimin yerlerini ve işaretlerini aynı anda çapraz olarak değiştirmek (k \leftrightarrow -d).
Benzer şekilde tersi kendisine eşit olan farklı bir fonksiyon sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?