- B
f(x) =
mx +9
A) -6
4x + mn
fonksiyonu daima azalan olduğu-
na göre m’nin en küçük tamn sayı değeri kaçtır?
B) -5 C) -4
D) 2
E) 5
Soru Fotoğrafı:
Fonksiyonun Daima Azalan Olduğu Duruma Göre m’nin En Küçük Tam Sayı Değeri
Verilen fonksiyon:
f(x) = \frac{mx + 9}{4x + m}
fonksiyonunun daima azalan olması isteniyor.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Türevini Bulma
Fonksiyonun türevi, fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu anlamak için kullanılır.
f(x) = \frac{u}{v} şeklinde, türev şu şekilde hesaplanır:
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Burada:
- u = mx + 9 → u' = m
- v = 4x + m → v' = 4
Türevi hesaplayalım:
f'(x) = \frac{m(4x + m) - (mx + 9)(4)}{(4x + m)^2}
Açalım:
f'(x) = \frac{4mx + m^2 - 4mx - 36}{(4x + m)^2} = \frac{m^2 - 36}{(4x + m)^2}
Adım 2 — Fonksiyonun Daima Azalan Olması
Fonksiyon daima azalan ise türevi her x için negatif olmalıdır.
Payda (4x + m)^2 her zaman pozitiftir (karekök olduğu için negatif olamaz).
Bu durumda türevin işareti paya bağlıdır, yani:
m^2 - 36 < 0
Adım 3 — m’nin Değerini Bulma
m^2 - 36 < 0 \Rightarrow m^2 < 36
Buradan:
-6 < m < 6
Ancak, burada dikkat edilmesi gereken nokta 4x + m \neq 0 olmalıdır (fonksiyon tanımlı olmalı).
Adım 4 — m’nin En Küçük Tam Sayı Değeri
m tam sayı ve m^2 < 36 koşulunu sağlamalı.
Yani m tam sayısı: -5, -4, -3, ..., 4, 5 olabilir.
Ama fonksiyonun daima azalan olması için payın negatif olması gerekiyor:
$$m^2 - 36 < 0 \Rightarrow m^2 < 36$$, yani; m mutlak değeri 6’dan küçük olmalı.
Sonuç olarak, daima azalan olması için m^2 - 36 < 0 ve aynı zamanda türevin işaretinin negatif olması gerekir. Türevin işaretine tekrar bakalım:
f'(x) = \frac{m^2 - 36}{(4x + m)^2}
Pay kesinlikle negatif olmalı, çünkü payda pozitiftir.
O halde m^2 - 36 < 0 ama kesinlikle negatif olmalı.
m^2 - 36 ifadesi negatif değilse bozulur.
En küçük tam sayı m değeri: -5.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) -5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
İpucu: Bir fonksiyonun daima azalan olabilmesi için türevinin tüm tanım kümesinde negatif olması gerekir. Bu sayede fonksiyon sürekli azalma gösterir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konu ile ilgili başka örnek ister misin?
f(x) = \dfrac{mx+9}{4x+m} fonksiyonu daima azalan olduğuna göre m’nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bölüm kuralı: \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Türevi hesapla
Fonksiyon:
f(x)=\dfrac{mx+9}{4x+m}
Türev (bölüm kuralı uygulanarak):
f'(x)=\dfrac{(m)(4x+m)-(mx+9)(4)}{(4x+m)^2}
Payın (nümeratörün) ayrıntılı hesaplanması:
N(x)=m(4x+m)-4(mx+9)
N(x)=4mx+m^2-4mx-36
N(x)=m^2-36
Böylece:
f'(x)=\dfrac{m^2-36}{(4x+m)^2}
Adım 2 — Monotonluk için işaret incele
Türev ifadesi:
f'(x)=\dfrac{m^2-36}{(4x+m)^2}
Dikkat: (4x+m)^2>0 olacak (tanımlı olduğu her x için), bu nedenle f'(x) işareti payın işaretine eşittir.
Daima azalan olması için:
f'(x)<0
\dfrac{m^2-36}{(4x+m)^2}<0
m^2-36<0
m^2<36
-6<m<6
Tam sayı değerleri için m şu değerleri alabilir:
m\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}
Bu kümenin en küçük tam sayı elemanı:
m=-5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
-
Türev ve Monotonluk
- Tanım: Bir fonksiyonun türevinin işareti fonksiyonun artma/azalma durumunu belirler.
- Bu problemde: Türev her tanımlı x için negatif olmalı.
-
Bölüm kuralı
- Tanım: İki fonksiyonun bölümünün türevi için kullanılır.
- Bu problemde: Pay ve paydanın türevleriyle pay kısmı elde edildi ve sadeleşti.
SIK YAPILAN HATALAR:
Payı yanlış sadeleştirme
- Yanlış: m(4x+m)-4(mx+9)=m^2-4mx-36 şeklinde hatalı kopyalama.
- Doğru: m(4x+m)-4(mx+9)=4mx+m^2-4mx-36=m^2-36
- Neden yanlış: 4mx terimleri birbirini götürür; yanlış yapıldığında türev işareti yanlış belirlenir.
- Düzeltme: Terimleri tek tek açıp sadeleştir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!