Fonksiyonlardan Türetilen Fonk- dan ve bu fonksiyonlardan türeti- gerçek yasam r m problemi belirleme- esitsizlikleri oluşturarak problemi da nasıl kullanılabileceğini belirle. yonlardan türetilen fonksiyonlar- durumlart belirleyiniz. ve bu fonksiyon

Izem_Ceylin_Balin · Mart 22, 2026, 12:58öö

Fonksiyonlardan Türetilen Fonk- dan ve bu fonksiyonlardan türeti- gerçek yasam r m problemi belirleme- esitsizlikleri oluşturarak problemi da nasıl kullanılabileceğini belirle. yonlardan türetilen fonksiyonlar- durumlart belirleyiniz. ve bu fonksiyonlardan türetilen em olusturunuz. veya eşitsizlikleri belirleyiniz. nüz larin grafiklerinden nasıl yarar- gi problem durumlarnda ku- a uyarlanabilirliği ediniz: eyiniz. Türkçenin düzgün ve dan karekodda yer alan ana- Aiştrmalar preo Bir otomotiv fabrikasinda üretilen B ve C sinıf iki farklı aracın günlük üretim miktarı ile fabrikanın avlik qeliri arasındaki ilişki araştırilmiş ve aylık ge- iin her zaman pozitif değerde kalmasına dikkat Pd Imiştir. Günlük üretim miktari ve fabrikanın ay: lik geliri arasındaki ilişki, 4 Kfabrikada üretilen qünlük araç miktarı bx), B sinufi araç için Türk lirası cinsinden aylik gelirin on binde biri . c(x), C sinifi araç için Türk lirası cinsinden aylik gelirin on binde biri olmak üzere b)=12x-24 ve c(x)=-6x+72x-120 fonk- siyonları ile modellenmiştir Buna göre a) C aracından kazanılan aylık gelirin maksi- mum olması için Caracından bir günde kaç adet üretilmesi gerektiğini bulunuz. b) Her iki aractan elde edilen gelirin eşit ol ması için bu araçlardan kaçar tane üretil- mesi gerektiğiní bulunuz. C) Bu iki aractan avnı sayda üretim yapilmast Şartı ile B aracının aylık gelirinin Caracinin ayink gelirinden daha fazla olması için bu araçlardan en az kaç tane üretilmesigerekir? 2. Mozaik duvar kaplaması üreten bir firma, kare sek- de bir mozaik kanlama icin üretim maliyetin re başi aplamanın alanı üzerinden santimetrekare unluğu üzerinden ATEMA: NİCELİKLER VE DECİSiMLER 3. Bir boncuk dükkänında farklı büyüklükte A ve B boncukları satılmaktadır. A boncuğundan elde edilen kr, maliyet fiyatı ile ters orantilidır. A bon- cuğunun maliyeti 2 TL iken karı 4 TLdir. B boncu- ğundan elde edlen kàr daima maliyet fiyatından 2TL fazladir. Dükkân sahibi hangi boncuk türünü satarsa daha fazla kär elde edebileceğini oğren- mek amacıyla bir inceleme yapmaktadır. Bunun için Avebturl detis a pôsteren onksiyonları srasıyla fve g ile modellemiştir. Buna göre a) f ve g fonksiyonlarınin cebirsel temsilini bulunuz. b)A ve B boncuklarından esit miktarda kâr elde edebilmek için maliyetin kaç TL ol- mast gerektiğini gösteren ifadenin cebir- sel ve grafik temsilini yaparak maliyeti hesaplayınız. c Cizdiğiniz grafik temsilinden yararlanarak hangi maliyet aralığında B boncuğunun A boncuğundan daha kårlı olduğunu nuz Bu duruma karsılık gelen eşitsizliğin cebirsel temsilini yapınız.

!Resim [Link Silindi]

Egitim_Danismani · Mart 22, 2026, 12:59öö

CEVAP:

Fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlar ve gerçek yaşam problemi belirleme:
- Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişim hızını ve eğimini gösterir. Gerçek hayat problemlerinde, örneğin üretim miktarı ve gelir ilişkilerinde, türev kullanılarak maksimum veya minimum değerler bulunabilir.
Örnek problem ve çözümü:
- Verilen fonksiyonlar:
  b(x) = 12x - 24, \quad c(x) = -6x^2 + 72x - 120
  burada x günlük üretim sayısını temsil ediyor.
a) C aracından kazanılan aylık gelirin maksimum olması için gereken üretim miktarı:
- c(x) fonksiyonunun maksimum değerini bulmak için türevini alırız:
  c'(x) = -12x + 72
- Türevi sıfıra eşitleyip x değerini buluruz:
  -12x + 72 = 0 \Rightarrow x = 6
- Yani, x=6 adet C aracı maksimum geliri sağlar.
b) Her iki araçtan elde edilen gelirin eşit olması:
- b(x) = c(x) eşitliğini kurarız:
  12x - 24 = -6x^2 + 72x - 120
- Denklemi düzenleriz:
  0 = -6x^2 + 72x - 120 - 12x + 24 \implies -6x^2 + 60x - 96 = 0
- Her terimi -6’ya bölelim:
  x^2 - 10x + 16 = 0
- Bu ikinci dereceden denklemi çözersek:
  x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}
- Çözümler:
  x=8 \quad \text{ve} \quad x=2
- Yani, 2 veya 8 araç üretildiğinde gelirleri eşit olur.
c) Aynı sayıda üretim yapıldığında B aracının geliri C aracından daha fazla olması için gerekli üretim miktarı:
- b(x) > c(x) eşitsizliğini kurarız:
  12x - 24 > -6x^2 + 72x - 120
- Denklemi tekrar düzenleriz:
  -6x^2 + 72x - 120 - 12x + 24 < 0 \implies -6x^2 + 60x - 96 < 0
- Her terimi -6’ya bölerken eşitsizliğin yönü değişir:
  x^2 - 10x + 16 > 0
- Bu denklemin kökleri 2 ve 8 olduğuna göre:
  x < 2 \quad \text{veya} \quad x > 8
- Ancak üretim miktarları genellikle pozitif olduğundan:
  - x < 2 ve x > 8 aralıklarında b(x) > c(x) olur.
- Soruda “en az kaç tane üretilmeli?” sorusu olduğu için:
  x > 8
- En az 9 tane üretilmelidir ki B aracının gelir miktarı C’den fazla olsun.

TEMEL KAVRAMLAR:

Türev
- Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını gösteren matematiksel kavramdır.
- Bu problemde: Maksimum veya minimum gelir bulmak için kullanıldı.
Eşitsizlik
- Tanım: Bir durumda hangi koşulların sağlandığını belirten matematiksel ifadedir.
- Bu problemde: Hangi üretim sayılarına göre gelirlerin durumunu gösterir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Mart 22, 2026, 12:59öö

SORU: Bir otomotiv fabrikasında B ve C sınıfı araçların aylık gelirlerini modelleyen fonksiyonlar b(x)=12x-24 ve c(x)=-6x^{2}+72x-120 verilmiştir.
a) C aracından kazanılan aylık gelirin maksimum olması için bir günde kaç adet üretilmesi gerekir?
b) Her iki araçtan elde edilen gelirin eşit olması için bu araçlardan kaçar tane üretilmesi gerekir?
c) Aynı sayıda üretim yapılması şartı ile B aracının aylık geliri C aracının aylık gelirinden daha fazla olması için en az kaç tane üretilmelidir?

Ayrıca bir boncuk dükkânı için: A boncuğunun kârı maliyet ile ters orantılı, maliyet 2 TL iken kâr 4 TL; B boncuğunun kârı maliyetten 2 TL fazladır.
a) Bu iki durum için cebirsel ifadeleri bulunuz.
b) Eşit kâr için maliyeti bulunuz.
c) Hangi maliyet aralığında B boncuğu A boncuğundan daha kârlıdır? (Eşitsizliğin cebirsel temsili)

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Parabolün tepe noktası formülü: Bir parabol ax^{2}+bx+c için tepe noktası x=-\dfrac{b}{2a}.
Denklem çözme: İkinci dereceden denklemler için diskriminant ve kökler: x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Eşitsizlik çözme: İkinci dereceden ifadelerin işaret yöntemi veya çarpanlara ayırma.
Ters orantı: Eğer p ters orantılıysa maliyet m ile p=\dfrac{k}{m} formunda gösterilir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — (1a) C aracının aylık gelir fonksiyonunun tepe noktasını bulma
Tepe noktası x=-\dfrac{b}{2a} formülü uygulanır.
Parabolde a=-6,\; b=72.
x=-\dfrac{72}{2\cdot(-6)}
x=-\dfrac{72}{-12}
x=6

Adım 2 — (1b) Gelirlerin eşit olması için denklemi kurma ve çözme
Eşitlik: b(x)=c(x)
12x-24 = -6x^{2}+72x-120
Tüm terimleri bir tarafa al: 0 = -6x^{2}+72x-120 -12x +24
0 = -6x^{2}+60x-96
Her iki tarafı -6 ile böl: 0 = x^{2}-10x+16 (işareti düzelterek)
Denklemi çarpanlayalım: x^{2}-10x+16 = 0
Diskriminant: \Delta = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot16 = 100-64 = 36
Kökler: x=\dfrac{10\pm\sqrt{36}}{2} = \dfrac{10\pm6}{2}
x_{1}=\dfrac{10+6}{2}=8
x_{2}=\dfrac{10-6}{2}=2

Adım 3 — (1c) B geliri > C geliri için eşitsizliği kurma ve çözme; gelirlerin pozitifliği koşulunu dikkate alma
Eşitsizlik: b(x)>c(x)
12x-24 > -6x^{2}+72x-120
Tüm terimleri bir tarafa al: 0 > -6x^{2}+72x-120 -12x +24
0 > -6x^{2}+60x-96
Her iki tarafı -6 ile bölelim (eşitsizlik yönü değişir): 0 < x^{2}-10x+16 yani x^{2}-10x+16>0
Çarpanlara ayırma: x^{2}-10x+16=(x-2)(x-8)
İşaret tablosu: (x-2)(x-8)>0 ise x<2 veya x>8.
Ancak aylık gelirlerin pozitif olması koşulunu kontrol edelim:
B aracı gelir pozitif olması için b(x)=12x-24>0 gerekir; bu da x>2.
Bu nedenle ortak sağlanan bölge x>8. En küçük doğal sayı değer x=9 dur.

Adım 4 — (3a) A ve B boncukları için cebirsel modelleri kurma
A boncuğu: kârın maliyete ters orantılı olması ve maliyet m=2 iken kâr 4 olduğuna göre sabiti bul: p_{A}=\dfrac{k}{m} ve 4=\dfrac{k}{2}
k=8
Dolayısıyla f(m)=\dfrac{8}{m}.
B boncuğu: kâr maliyetten 2 TL fazla ise g(m)=m+2.

Adım 5 — (3b) Eşit kâr koşulunu cebirsel olarak çözme
Eşitlik: \dfrac{8}{m}=m+2
Her iki tarafı m ile çarp: 8 = m^{2}+2m
Denklem: m^{2}+2m-8=0
Diskriminant: \Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36
Kökler: m=\dfrac{-2\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{-2\pm6}{2}
m_{1}=\dfrac{-2+6}{2}=2
m_{2}=\dfrac{-2-6}{2}=-4 (maliyet negatif olamayacağı için reddedilir)

Adım 6 — (3c) B daha kârlı olsun koşulunun eşitsizliğini kurma ve çözme
Eşitsizlik: g(m)>f(m) yani m+2>\dfrac{8}{m}
Pozitif maliyet m>0 varsayımıyla her iki tarafı m ile çarp: m^{2}+2m>8
Denklem: m^{2}+2m-8>0
Çarpanlara ayırma: (m-2)(m+4)>0
Pozitif m için çözüm m>2.
Dolayısıyla maliyet 2 TL’den büyük olduğunda B boncuğu daha kârlıdır.

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Parabolün tepe noktası

Tanım: İkinci dereceden fonksiyonun maksimum veya minimum değer aldığı x koordinatı.
Bu problemde: C aracının aylık gelir fonksiyonu parabol olduğundan maksimumu tepe noktasında olur; x=-\dfrac{b}{2a}.

2. Ters orantı

Tanım: İki nicelikten biri artınca diğerinin azalması; matematiksel olarak y=\dfrac{k}{x}.
Bu problemde: A boncuğunun kârı maliyete ters orantılı olarak f(m)=\dfrac{8}{m} şeklinde modellenmiştir.

SIK YAPILAN HATALAR:

Tepe noktasını yanlış kullanma

Yanlış: Tepeyi x=-\dfrac{a}{2b} şeklinde almak.
Doğru: x=-\dfrac{b}{2a}.
Neden yanlış: Katsayıların yerleri karıştırılırsa yanlış sonuç çıkar.
Düzeltme: a ve b görevlerini doğru belirleyin (parabol ax^{2}+bx+c).

Eşitsizlik çarparken işaret değişimini unutma

Yanlış: Negatif ile bölerken eşitsizlik yönünü değiştirmemek.
Doğru: Negatif ile böldüğünüzde eşitsizlik yönü tersine döner.
Neden yanlış: İşaret kuralı uygulanmazsa hatalı çözüm kümesi çıkar.
Düzeltme: Her zaman işaret değiştirip değiştirmediğinizi kontrol edin.

CEVAP:
1a) C aracının aylık geliri maksimum olurken bir günde üretilmesi gereken araç sayısı x=6.
1b) Gelirlerin eşit olması için üretim miktarları x=2 ve x=8. (Pozitif ve geçerli olanlar)
1c) B aracının aylık gelirinin C aracının aylık gelirinden fazla olması için aynı sayıda üretim yapılması şartıyla en az 9 adet üretilmelidir.

3a) f(m)=\dfrac{8}{m} ve g(m)=m+2.
3b) Eşit kâr için maliyet m=2 TL olur.
3c) B boncuğunun A boncuğundan daha kârlı olduğu maliyet aralığı m>2. (Eşitsizliğin cebirsel temsili: m+2>\dfrac{8}{m} ve pozitif m için çözüm m>2.)

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?