Fonksiyonlardan hangileri her x ∈ ℝ için tanımlıdır?

YKS TYT
1

17656605015602307111683832519885
176566050156023071116838325198853000×4000 651 KB

2

Fonksiyonlardan hangileri her x ∈ ℝ için tanımlıdır?

Verilen fonksiyonlar:

  1. f(x) = \log_2 (x^2 - x - 5)
  2. g(x) = \log_9 (x^2 + 2x + 4)
  3. h(x) = \ln (x^3 + 2)

Fonksiyonların tanımlı olma koşulları

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için logaritmanın içindeki ifade pozitif olmalıdır. Yani:

  • f(x) için:
    x^2 - x - 5 > 0

  • g(x) için:
    x^2 + 2x + 4 > 0

  • h(x) için:
    x^3 + 2 > 0

1. Fonksiyon: f(x) = \log_2 (x^2 - x - 5)

İç kısmı inceleyelim:

x^2 - x - 5 > 0

Denklemin köklerini bulalım:

x^2 - x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}

Yaklaşık değerler:

  • x_1 = \frac{1 - 4.58}{2} \approx -1.79
  • x_2 = \frac{1 + 4.58}{2} \approx 2.79

Parabol yukarı doğru açılan bir parabol olduğu için, x^2 - x - 5 > 0 koşulu:

(-\infty, -1.79) \cup (2.79, \infty)

Bu nedenle, f(x) her x \in \mathbb{R} için tanımlı değildir.

2. Fonksiyon: g(x) = \log_9 (x^2 + 2x + 4)

İç kısmı inceleyelim:

x^2 + 2x + 4 > 0

Denklemin diskriminantı:

\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0

Negatif diskriminant olduğundan, x^2 + 2x + 4 ifadesi her zaman pozitiftir (çünkü parabol yukarı doğru açılır ve kökü yoktur).

Dolayısıyla:

g(x) \text{ her } x \in \mathbb{R} \text{ için tanımlıdır.}

3. Fonksiyon: h(x) = \ln (x^3 + 2)

İç kısmı inceleyelim:

x^3 + 2 > 0 \Rightarrow x^3 > -2 \Rightarrow x > \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2} \approx -1.26

Yani:

h(x) \text{ tanımlı olduğu aralık } (-1.26, \infty)

Bu nedenle, h(x) her x \in \mathbb{R} için tanımlı değildir.

Sonuç

Fonksiyon Tanımlı Olduğu Aralık Her x \in \mathbb{R} için tanımlı mı?
f(x) (-\infty, -1.79) \cup (2.79, \infty) Hayır
g(x) (-\infty, \infty) Evet
h(x) (-1.26, \infty) Hayır

Doğru seçenek: B) Yalnız II

Özet:

  • f(x) ve h(x) fonksiyonları tüm gerçek sayılar için tanımlı değildir.
  • Sadece g(x) fonksiyonu tüm gerçek sayılar için tanımlıdır.

@nls

3

Soru:

f(x)=\log_2\bigl(x^2 - x - 5\bigr),
g(x)=\log\bigl(x^2 + 2x + 4\bigr) ve
h(x)=\ln\bigl(x^3 + 2\bigr) fonksiyonlarından hangileri her x\in\mathbb{R} için tanımlıdır?

İçindekiler

2.1 f(x) Domaini
2.2 g(x) Domaini
2.3 h(x) Domaini
3. Sonuç ve Özet Tablosu
4. Özet

1. Tanım Kavramı

Bir logaritma veya doğal logaritma fonksiyonu \log_A(\,\cdot\,) veya \ln(\,\cdot\,) için tanımlı olabilmesi şartı, içindeki ifadenin pozitif olmasıdır. Yani bir fonksiyon

  • \log_A\bigl(u(x)\bigr) veya \ln\bigl(u(x)\bigr)
  • Tanımlı ise: u(x)>0 olacak şekilde tüm x için sağlanmalıdır.

2. Fonksiyonların Domain İncelemesi

Her fonksiyon için ortak adıma bakalım:

  1. İçsel ifadeyi >0 şartını yaz.
  2. İlgili eşitsizliği çöz.
  3. Elde edilen çözüm kümesinin \mathbb{R} ile karşılaştırması.

2.1 f(x) Domaini

f(x)=\log_2\bigl(x^2 - x - 5\bigr) için

Şart:
x^2 - x - 5 > 0

Çözüm Adımları:

  1. Denklemin köklerini bul:
    $
    x^2 - x - 5 = 0
    $
    kökler:
    $
    x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} ;=;\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}
    $
  2. Parabolun katsayısı pozitif olduğundan (+1), x^2 - x -5 > 0 olur:
    $
    x < \frac{1 - \sqrt{21}}{2}
    $ veya
    $
    x > \frac{1 + \sqrt{21}}{2}
    $

Domain:
$
\bigl(-\infty,;\tfrac{1-\sqrt{21}}{2}\bigr);\cup;\bigl(\tfrac{1+\sqrt{21}}{2},;\infty\bigr)
$

Bu aralık tüm \mathbb{R}’ı kapsamaz.

2.2 g(x) Domaini

g(x)=\log\bigl(x^2 + 2x + 4\bigr) için

Şart:
x^2 + 2x + 4 > 0

Çözüm Adımları:

  1. Diskriminant hesabı:
    $
    \Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot4 = 4 - 16 = -12 < 0
    $
  2. Katsayı +1 olduğundan, diskriminantın negatif olması bu parabolün tamamen pozitif olduğunu gösterir.

Domain:
$
(-\infty,\infty)
$

Bu fonksiyon her x\in\mathbb{R}’de tanımlıdır.

2.3 h(x) Domaini

h(x)=\ln\bigl(x^3 + 2\bigr) için

Şart:
x^3 + 2 > 0 \;\Longrightarrow\; x^3 > -2 \;\Longrightarrow\; x > \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}\approx -1{,}26

Domain:
$
\bigl(-\sqrt[3]{2},\infty\bigr)
$

Bu aralık da tüm \mathbb{R}’ı kapsamaz.

3. Sonuç ve Özet Tablosu

Fonksiyon Domain Tüm \mathbb{R} mi?
f(x)=\log_2\bigl(x^2 - x - 5\bigr) \bigl(-\infty,\tfrac{1-\sqrt{21}}{2}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{1+\sqrt{21}}{2},\infty\bigr) Hayır
g(x)=\log\bigl(x^2 + 2x + 4\bigr) (-\infty,\infty) Evet
h(x)=\ln\bigl(x^3 + 2\bigr) \bigl(-\sqrt[3]{2},\infty\bigr) Hayır

4. Özet

  • Logaritma fonksiyonu için içsel ifade mutlaka pozitif olmalıdır.
  • f(x) ve h(x) fonksiyonlarının domainleri kısıtlıdır, tüm gerçel sayıları kapsamaz.
  • Sadece g(x)=\log(x^2 + 2x + 4) fonksiyonu her x\in\mathbb{R} için tanımlıdır.

Cevap: Yalnız II. @nls