Doğru cevap D ama nasıl oldu anlamadım
Fonksiyonlar AYT Matematik Deneme Sorusu Çözümü
Soruda verilen bilgiler:
Fonksiyon f(x) = \frac{x}{x+1} olarak verilmiş. Ayrıca her n \geq 1 için:
- f_n(x) = f(f_{n-1}(x))
- f_1(x) = f(x) olduğu belirtilmiş.
Soru, f_{1922}(1) ifadesinin değerini bulmamızı istiyor. Doğru cevap D şıkkı (1/1923) olarak verilmiş, ancak çözümde tereddüt oluşmuş. Hadi birlikte çözelim:
Adım 1 – İlk Fonksiyonun Özelliğini İnceleme
f(x) = \frac{x}{x+1}
Şimdi f(f(x)) fonksiyonunu hesaplayalım:
- f(f(x)) fonksiyonunda yerine f(x) = \frac{x}{x+1} koyarız:
f(f(x)) = f\left(\frac{x}{x+1}\right)
- f(x) yerine yazılan ifadeye tekrar fonksiyon uygulanır:
f\left(\frac{x}{x+1}\right) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + 1}
- İfadeyi sadeleştirelim:
f(f(x)) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1}}
f(f(x)) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x+x+1}{x+1}}
Pay ve paydayı sadeleştirince:
f(f(x)) = \frac{x}{x+2}
Bu desen kendisini tekrar eder. Yani:
- f_1(x) = \frac{x}{x+1}
- f_2(x) = \frac{x}{x+2}
- f_3(x) = \frac{x}{x+3}
…
Genel bir kurala göre:
f_n(x) = \frac{x}{x+n}
Adım 2 – f_{1922}(1) Hesabı
Genel kuralımızı kullanarak, f_{1922}(1) ifadesini hesaplayabiliriz:
f_n(x) = \frac{x}{x+n}
Burada n = 1922 ve x = 1 için:
f_{1922}(1) = \frac{1}{1+1922}
f_{1922}(1) = \frac{1}{1923}
Sonuç
Sorunun doğru cevabı D) \frac{1}{1923}. Bu çözüm fonksiyonun tekrarlayan yapısından kaynaklanır ve genel ifadeyi bulmak için fonksiyonun özelliklerini analiz etmek gerekir.
Eğer başka soruların varsa veya daha fazla detay istiyorsan bana ulaşabilirsin! 
Doğru cevap D ama nasıl oldu anlamadım – Çözüm ve Açıklama (Fonksiyonlar Soru Çözümü)
Soru Özeti:
f(x) = \frac{x}{x+1} fonksiyonu veriliyor ve f_1(x) = f(x), f_{n+1}(x) = f(f_n(x)) tanımlamalarıyla, f_{1922}(1) isteniyor.
1. Fonksiyonun Özelliği ve İlk Değerleri
Fonksiyonun İlk Değerlerini Bulalım:
- f(x) = \frac{x}{x+1}
f_1(x) = f(x)
f_2(x) = f(f(x))
f_2(x) = f\left(\frac{x}{x+1}\right) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + 1}
\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x + x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}
f_2(x) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x}{2x+1}
f_3(x) = f(f_2(x))
f_3(x) = f\left(\frac{x}{2x+1}\right) = \frac{\frac{x}{2x+1}}{\frac{x}{2x+1} + 1}
\frac{x}{2x+1} + 1 = \frac{x + 2x+1}{2x+1} = \frac{3x+1}{2x+1}
f_3(x) = \frac{\frac{x}{2x+1}}{\frac{3x+1}{2x+1}} = \frac{x}{3x+1}
Desenini Yakalamak: Genel ifade
Gördüğümüz üzere desen:
f_n(x) = \frac{x}{nx+1}
Kontrol edelim:
- n=1 için: \frac{x}{1x+1} = \frac{x}{x+1}
- n=2 için: \frac{x}{2x+1}
- n=3 için: \frac{x}{3x+1}
2. f_{1922}(1) Hesabı
f_{1922}(1) = \frac{1}{1922 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{1923}
3. Seçenek ve Sonuç Karşılaştırması
CEVAP:
f_{1922}(1) = \frac{1}{1923}
Şıklarda D seçeneği:
- D) \frac{1}{1923}
Sonuç:
- Doğru cevap D seçeneğidir çünkü ardışık bileşke fonksiyonlar için f_n(x) = \frac{x}{nx+1} dizisi oluşuyor ve 1922. adımda x=1 verdiğimizde \frac{1}{1923} elde ediliyor.
Fonksiyonun Kısa Özeti ve Pratik Yöntem
- Kural: f_n(x) = \frac{x}{nx+1}
- İstenilen: f_{n}(1) = \frac{1}{n+1}
- Soru için: n=1922 \implies \frac{1}{1923}
Anahtar Noktalar:
- Bileşke fonksiyonlarda, verilen fonksiyonun tekrar tekrar uygulanmasıyla her yeni adımda paydanın başındaki katsayı bir artıyor.
- f_n(1) = \frac{1}{n+1} pratik formül olarak hatırlanabilir.
Sorunuzun doğru cevabı D seçeneği, yani \frac{1}{1923}'tür. Şimdi adım adım açıklayalım:
Soru Özeti
- f(x) = \frac{x}{x + 1}
- f_1(x) = f(x)
- f_{n+1}(x) = (f_1 \circ f_n)(x) yani f_{n+1}(x) = f_1(f_n(x))
- f_{1922}(1) isteniyor.
Çözüm Adımları
1. Fonksiyonun Tekrarı
Önce f_n(x) foksiyonunun bir örüntüsünü bulalım.
f_1(x) = f(x) = \frac{x}{x+1}
f_2(x) = f_1(f_1(x)) = f(f(x))
f(f(x)) hesaplayalım:
Önce f(x) = \frac{x}{x+1}.
Şimdi, f(f(x)):
f\left(\frac{x}{x+1}\right) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + 1}
Payda eşitleyelim:
\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x + (x+1)}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}
f\left(\frac{x}{x+1}\right) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x}{2x+1}
f_3(x) = f_1(f_2(x)) = f(f_2(x)):
f_2(x) = \frac{x}{2x+1}
f\left(\frac{x}{2x+1}\right) = \frac{\frac{x}{2x+1}}{\frac{x}{2x+1} + 1}
Payda:
\frac{x}{2x+1} + 1 = \frac{x + (2x+1)}{2x+1} = \frac{3x+1}{2x+1}
Yani:
f_3(x) = \frac{\frac{x}{2x+1}}{\frac{3x+1}{2x+1}} = \frac{x}{3x+1}
2. Örüntüyü Bulmak
Buradan genel terimi fark edelim:
f_1(x) = \frac{x}{x+1}
f_2(x) = \frac{x}{2x+1}
f_3(x) = \frac{x}{3x+1}
Genel olarak:
f_n(x) = \frac{x}{n x + 1}
Bunu şıkların boyutuna göre kontol edelim:
- f_1(x) = \frac{x}{1x + 1}
- f_2(x) = \frac{x}{2x + 1}
- f_3(x) = \frac{x}{3x + 1}
- f_n(x) = \frac{x}{n x + 1}
3. İstenen Değeri Bul
Bize f_{1922}(1) soruluyor. Yani:
f_{1922}(1) = \frac{1}{1922 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{1923}
Sonuç
Cevap: D şıkkı \boxed{\frac{1}{1923}}
Sorunun mantığı: Fonksiyonu birkaç kez üst üste uyguladığınızda örüntüyü gözlemleyip genel terimi bulmak ve yerine koymak!
Soru
“f(x)=\frac{x}{x+1} fonksiyonu verilmiş ve f_{n}(1) ifadesi (yani f’nin kendisiyle n kez ardışık bileşke uygulanması sonucunda 1’in görüntüsü) soruluyor. Seçeneklerde de (A) 1923, (B) 1/1923, (C) 1922, (D) 1/1922, (E) 1924 gibi değerler var. Resimde “Doğru cevap D” (yani 1/1922) yazsa da pek çok standart tanım altında bu tür sorularda çıkan sonuç aslında 1/1923 olur. Nasıl hesaplandığını adımdan adımla görelim.
1. Fonksiyonun İlk Bileşkeleri
Elimizdeki fonksiyon
f(x) \;=\;\frac{x}{x+1}
ise, 1’den başlayarak ardışık uygulayalım:
- f(1) \;=\;\dfrac{1}{1+1}\;=\;\dfrac{1}{2}
- (f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) ;=;\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}+1}
;=;\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{2}}
;=;\tfrac{1}{3}) - (f\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) ;=;\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}+1}
;=;\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}}
;=;\tfrac{1}{4})
Böyle devam ederek gözlendiğinde,
f^n(1) \;=\;\frac{1}{n+1}
şeklinde çok düzenli bir dizi elde ediyoruz. Buradaki f^n(1) notasyonu, “f fonksiyonunu n kez ardışık uygula” anlamındadır (yani f\circ f\circ \dots\circ f, toplam n tane).
2. Genel Formülün İspatı (Kısa İndüksiyon)
Bu sonucu resmî olarak ispatlamak isterseniz şöyle bir tümevarım (indüksiyon) yapılır:
• Başlangıç (n=1):
f^1(1) = f(1) = \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{1+1}. Doğru.
• Varsayım (n için doğru olsun)):
f^n(1) = \dfrac{1}{n+1}.
• Geçiş (n+1 için)):
(f^{n+1}(1) = f\bigl(f^n(1)\bigr) = f\Bigl(\tfrac{1}{n+1}\Bigr)
= \dfrac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n+1}+1}
= \dfrac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{n+2}{n+1}}
= \dfrac{1}{n+2}.)
Dolayısıyla
f^n(1) \;=\;\frac{1}{n+1}
\quad
\text{formülü tüm }n\ge 1\text{ için geçerlidir.}
3. Soruda n=1922 Durumu
Eğer sorudaki “f_{n}(1)” ifadesi standart anlamıyla “f fonksiyonunu n kez bileşke olarak uygula” anlamındaysa,
f_{1922}(1) \;=\; f^{1922}(1)
\;=\;\frac{1}{1922+1}
\;=\;\frac{1}{1923}.
Bu da sıklıkla (B) 1/1923 seçeneğinde yer alır.
4. Peki Neden Cevap “1/1922” Denilmiş Olabilir?
Sorularda bazen fonksiyonun bileşke sırasını tanımlarken bir kayma (off-by-one) yaşanmış olabilir. Örneğin:
• Kimileri “f_1(x) = x” deyip “f_2(x) = f(x)” biçiminde tanımlar (yani birinci adımda fonksiyonu uygulamamak, ikinci adımda uygulamak gibi). Bu durumda dizinler 1 kayarak ilerler ve sonuç tablodaki seçeneklerden “1/1922” çıkabilir.
• Veya soruda “f_{1}(x) = f(x)” dense bile, “n. fonksiyon uygulaması”nın tam hangi değere karşılık geldiği net yazılmayınca, dershane kaynağı veya bazen yayınevi çözümleri yanlış dizini de “doğru cevap” şeklinde etiketlemiş olabilir.
Normalde en yaygın kabul,
f^1(1)=f(1),\quad
f^2(1)=f(f(1)),\quad \dots,\quad
f^n(1)=\underbrace{f\circ f\circ \dots\circ f}_{n\text{ kez}}(1),
şeklinde olduğu için 1/1923 daha tutarlı bir neticedir.
Sonuç ve Öneri
• Standart tanıma göre, f_{1922}(1)=1/1923 çıkar.
• Eğer elinizdeki kitap/resmî çözüm “D şıkkı doğru” diyorsa, muhtemelen dizinler bir basamak farklı tanımlanmıştır. Siz yine de en temel yöntemle (kompozisyonu adım adım, yukarıdaki gibi) sonucu 1/(n+1) şeklinde doğrulayabilirsiniz.
Umarım hangi nedenle “D” olarak göründüğünü açıklar ve yöntemi anlaşılır kılar. Hesap tekniği açısından en kısa yol budur:
\boxed{f^n(1)\;=\;\frac{1}{n+1}}
\quad\Longrightarrow\quad
f^{1922}(1) \;=\;\frac{1}{1923}.