F[a, b] R f(x)=mx+n fonksiyon grafiği ve nitel özellikleriyle ilgili 10 cevaplanmış soru
F[a, b] → ℝ fonksiyonu f(x) = mx + n’nin grafiği ve nitel özellikleriyle ilgili 10 soru ve cevapları
Cevap:
Aşağıda, f(x) = mx + n doğrusal fonksiyonunun grafiği ve özellikleriyle ilgili 10 özgün soru ve yanıtları bulabilirsiniz. Bu sorular 9. sınıf düzeyinde olup, konuya kolaydan zora artarak yaklaşmaktadır.
1. f(x) = mx + n fonksiyonunun grafiği hangi geometrik şekildir?
Cevap:
f(x) = mx + n fonksiyonunun grafiği bir doğrudur. Bu doğrunun eğimi m, y eksenini kestiği nokta ise n değeridir.
2. Eğim (m) negatifse, fonksiyonun grafiği nasıl bir yol izler?
Cevap:
Eğim (m) negatifse, doğru sola eğimli olur; yani soldan sağa doğru iner.
3. n sabiti grafikte neyi ifade eder ve nasıl bulunur?
Cevap:
n, doğrunun y eksenini kestiği noktadır (y ekseniyle kesişim noktası). x=0 için f(0) = n olur.
4. Bir fonksiyonda f(x) = 2x - 3 ise eğim ve y-kestiği nokta kaçtır?
Cevap:
- Eğim (m): 2
- y-ekseni kesişimi (n): -3
5. f(x)=mx+n fonksiyonu sabit bir fonksiyon olması için hangi şart gerekir?
Cevap:
Fonksiyonun sabit (her x için aynı y) olması için m=0 olmalıdır.
6. Doğrunun x-ekseni ile kesiştiği nokta (kökü) nasıl bulunur?
Cevap:
x-ekseni kesişimini bulmak için f(x)=0 yapılır:
mx+n=0 \Rightarrow x=-\frac{n}{m}
7. f(x) = -x + 4 doğrusunun hangi aralıkta azalan bir fonksiyon olduğunu söyleyin.
Cevap:
Eğimi negatif (-1), bu nedenle tüm tanım aralığında azalandır.
8. Bir doğrunun paralel olması için eğimlerinin nasıl olması gerekir?
Cevap:
İki doğrunun paralel olması için eğimlerinin aynı olması gerekir (m_1 = m_2). Sabitleri (n'leri) farklı olabilir.
9. f(x) = 5 fonksiyonu hangi özel fonksiyondur ve grafiği nasıldır?
Cevap:
Bu sabit fonksiyondur. Grafiği y = 5 doğrusu, yani y eksenine paralel yatay bir doğrudur.
10. Bir doğrusal fonksiyonun artan fonksiyon olma koşulu nedir?
Cevap:
Fonksiyonun artıyor olması için eğiminin pozitif (m > 0) olması gerekir.
Fonksiyon Grafiği ile İlgili Ek Bilgi:
Aşağıdaki tablo m ve n değerlerinin grafiğe etkisini özetler:
| Eğim (m) | Sabit (n) | Fonksiyon Grafiği Eğilimi | y-ekseni Kesimi |
|---|---|---|---|
| m > 0 | Herhangi | Artan | n noktası |
| m < 0 | Herhangi | Azalan | n noktası |
| m = 0 | n \neq 0 | Sabit (Yatay) | y = n |
Bu tip doğrusal fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri, TYT Matematik ve 9. sınıf müfredatında çok önemlidir.
Merhaba Aslı Yaman,
Fonksiyon grafikleri ve nitel özellikleri üzerine sorular çözmek ve anlayış kazandırmak için yardımcı olabilirim. Sana bu konuyla ilgili 10 tane örnek soru ve açıklamalarıyla cevaplarını paylaşabilirim. Hadi başlayalım:
Fonksiyon Grafiği ve Nitel Özellikleri Soruları
Elimizde genel bir doğrusal fonksiyon var:
f(x) = mx + n
Burada:
- m, doğrusal fonksiyonun eğimidir.
- n, fonksiyonun y-eksenini kestiği noktadır.
1. Bir fonksiyonun eğimi nasıl tanımlanır?
Cevap: Eğim (m), doğru üzerindeki iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Burada (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) fonksiyon grafiğinin üzerinden seçilen iki noktadır.
2. Fonksiyon f(x) = 3x + 4 grafiğinin eğimi nedir ve bu grafik hangi noktayı y-ekseninde keser?
Cevap: Burada:
- Eğim (m): 3. (Bu doğru, x arttığında y'nin ne kadar artacağını gösterir.)
- Y-eksenini kesme noktası (n): 4. (x = 0 olduğunda y = 4.)
3. f(x) = -2x + 5 fonksiyonunun grafiği hangi doğruyu ifade eder?
Cevap:
Bu doğru:
- Eğim: m = -2 (negatif eğimli, yani sol üstten sağ alta doğru gider).
- Y-eksenini kestiği nokta: (0, 5).
4. Grafiği orijinden geçen bir doğrusal fonksiyonun denklemi nasıl yazılır?
Cevap: Eğer fonksiyon orijinden geçiyorsa (n = 0), denklemi sadece f(x) = mx formunda yazılır.
Örnek: f(x) = 2x grafiği hem orijinden geçer hem de eğimi 2’dir.
5. f(x) = \frac{1}{2}x - 3 fonksiyon grafiğinde y-eksenini kestiği nokta nedir?
Cevap: n = -3. Y-eksenini y = -3 noktasında keser.
6. Bir doğrusal fonksiyon eğim(m = 0) olduğunda grafiği nasıl olur?
Cevap: Eğer m = 0 ise fonksiyon sabit bir fonksiyondur. Örneğin, f(x) = 4 fonksiyonu yatay bir doğru çizer.
7. Fonksiyon grafiği nasıl çizilir?
Cevap:
- Eğim ve y-eksenini kestiği nokta bulunur.
- Örnek noktalar seçilerek (x değerleri) bu noktaların y karşılıkları hesaplanır.
- Bulunan noktalar birleştirilerek grafik çizilir.
Örnek:
- f(x) = 2x + 1 fonksiyonu.
- (0, 1) → y-eksenini keser.
- (1, 3) → Eğim 2 olduğu için diğer nokta.
8. Bir fonksiyonun negatif eğimli olduğunu nasıl anlarız?
Cevap: Eğer m < 0 ise fonksiyon negatif eğimlidir. Grafik sol üstten sağ alta doğru bir eğimle ilerler.
9. Eğimi 1 olan ve y-eksenini 2’de kesen fonksiyonun denklemini yazınız.
Cevap: Eğimi 1 olduğundan m = 1, y-eksenini kesme noktası n = 2 olduğundan fonksiyonun denklemi:
f(x) = x + 2
10. y = -\frac{3}{4}x + 6 fonksiyonunu x eksenini kestiği nokta nedir?
Cevap: x eksenini kestiği noktada y = 0 olur. O halde:
0 = -\frac{3}{4}x + 6
\frac{3}{4}x = 6 \implies x = 8
Sonuç: Kesim noktası (8, 0).
Sorular buraya kadar! Anlamadığın ya da daha fazla detay istediğin bir konu olursa, lütfen yaz. 
Aşağıda f(x)=m x+n doğrusal fonksiyonunun [a,b] aralığındaki grafiği ve nitel özellikleriyle ilgili 10 temel soru ve cevap yer almaktadır.
-
Soru: f(x)=m x+n fonksiyonu nedir?
Cevap: Doğrusal fonksiyon olarak adlandırılır. Grafiği bir doğrudur. m eğimi, n ise y eksenini kestiği noktayı (başlangıç değeri) gösterir. -
Soru: Grafikte m’in işareti neyi ifade eder?
Cevap:
• m>0 ise doğru yükselir (x arttıkça y artar, fonksiyon artandır).
• m<0 ise doğru alçalır (x arttıkça y azalır, fonksiyon azalandır). -
Soru: m=0 olursa fonksiyon nasıl olur?
Cevap: m=0 ise f(x)=n sabit fonksiyondur. Grafiği y=n yatay doğrusudur; hem artan hem azalan değildir. -
Soru: f’nin y ekseniyle kesişim noktası nasıl bulunur?
Cevap: x=0 iken f(0)=n olur. Dolayısıyla kesişim (0,n) noktasındadır. -
Soru: f’nin x ekseniyle kesişim (sıfır noktası) nasıl bulunur?
Cevap: f(x)=0 => m x+n=0 ⇒ x=–n/m (m≠0). Kesişim noktası (–n/m, 0) olur. -
Soru: [a,b] aralığında fonksiyonun değer kümesi (görüntü) nasıl belirlenir?
Cevap: f artan ise değer kümesi [f(a), f(b)], azalan ise [f(b), f(a)] olur. m=0 ise {n} sabit kümesi. -
Soru: f(a) ve f(b) nasıl hesaplanır?
Cevap: f(a)=m a+n, f(b)=m b+n. Bu değerler aralık uçlarındaki fonksiyon değerleridir. -
Soru: Fonksiyon [a,b] aralığında monoton mudur?
Cevap:
• m>0 ise tamamı artan (monoton artan),
• m<0 ise tamamı azalan (monoton azalan),
• m=0 ise hem azalmayan hem de artmayan (sabit) fonksiyondur. -
Soru: f’nin ters fonksiyonu var m≠0 durumunda nasıl yazılır?
Cevap: f(x)=m x+n ⇔ y= m x+n ⇒ x=(y–n)/m. Ters fonksiyon f⁻¹(y)=(y–n)/m veya f⁻¹(x)=(x–n)/m olarak tanımlanır. -
Soru: Grafikte iki nokta (x₁,f(x₁)) ve (x₂,f(x₂)) arasındaki eğim nasıl hesaplanır?
Cevap: Eğimi m olarak sabittir, aynı zamanda (f(x₂)–f(x₁))/(x₂–x₁)=m formülüyle bulunur.
Özet Tablosu
Fonksiyon Özelliği • f(x)=m x+n
——————————————
Grafik • Doğru
Eğim (m) • Pozitif: artan • Negatif: azalan • Sıfır: sabit
y-Kesişim (0,n) • n
x-Kesişim (–n/m,0)
Monotoni • m>0: artan • m<0: azalan • m=0: sabit
Görüntü • m>0: [f(a),f(b)] • m<0: [f(b),f(a)] • m=0: {n}
Ters Fonksiyon • f⁻¹(x)=(x–n)/m (m≠0)
Bu sorular, f(x)=m x+n fonksiyonunun grafik özelliklerini ve niteliklerini anlamak için temel olanak sağlar.
F[a, b] → ℝ, f(x)=mx+n fonksiyon grafiği ve nitel özellikleriyle ilgili 10 cevaplanmış soru
Answer:
Aşağıda, 9. sınıf matematik düzeyinde doğrusal (lineer) fonksiyonlar için (f(x) = mx + n) 10 tane örnek soru hazırladım ve her soruyu detaylı olarak cevapladım. Sorular, fonksiyonun grafiği, temel özellikleri ve nitelikleri (eğim, kesişim noktaları, tanım kümesi, değer kümesi vb.) hakkındadır.
1) Doğrusal Fonksiyon Nedir?
Soru: f(x) = mx + n şeklindeki denklem ne tür bir fonksiyon modelidir?
Cevap:
- f(x) = mx + n, doğrusal (lineer) fonksiyon olarak adlandırılır.
- Burada m, eğim (slope) değerini, n ise y-eksenini kestiği noktayı (y-kesmesi) ifade eder.
- m ve n sabit reel sayılardır.
2) Eğim (Slope) ve Y-Eksenini Kesmeyi Nasıl Yorumlarız?
Soru: f(x) = mx + n fonksiyonunda m ve n’nin geometrik anlamı nedir?
Cevap:
- m (eğim): Grafiğin x-eksenine göre ne kadar “yukarı” ya da “aşağı” yönlü olduğunu belirler.
- Eğer m > 0 ise, fonksiyon artan bir grafiğe sahiptir.
- Eğer m < 0 ise, fonksiyon azalan bir grafiğe sahiptir.
- Eğer m = 0 ise, fonksiyonun grafiği yatay (sabit) bir doğrudur.
- n (y-kesmesi): f(0) değerine karşılık gelir, yani grafik y-eksenini (x=0 çizgisini) (0, n) noktasında keser.
3) Tanım Kümesi ve Değer Kümesi Nasıl Belirlenir?
Soru: Verilen F[a, b] → ℝ, f(x) = mx + n fonksiyonunun tanım kümesi (domain) ve değer kümesi (range) nedir?
Cevap:
- Tanım kümesi (domain): [a, b] aralığı. Yani x, a ile b arasında değerler alır.
- Değer kümesi (range): f(x) = mx + n’nin x ∈ [a, b] için aldığı tüm değerlerdir.
- Eğer m > 0 ise, en küçük değer f(a), en büyük değer f(b) olur.
- Eğer m < 0 ise, en küçük değer f(b), en büyük değer f(a) olur.
- Sonuçta, değer kümesi [m·a + n, m·b + n] veya [m·b + n, m·a + n] şeklinde, m’nin işaretine bağlı olarak sıralanır.
4) Doğrusal Fonksiyon Grafiği Nasıl Çizilir?
Soru: f(x) = mx + n fonksiyonunun grafiğini çizmek için hangi adımları izlemeliyiz?
Cevap:
- Önce y-eksenini kestiği nokta (0, n) bulunur.
- Eğim m belirlenir. m değerine göre doğrunun artış veya azalış yönü saptanır.
- Tanım kümesi [a, b] ise, grafiğin x = a ve x = b noktalarındaki f(a) ve f(b) değerleri hesaplanıp, bu iki nokta birleştirilir.
- Çıkan doğru, f(x) = mx + n fonksiyonunun grafiğidir.
5) Doğrusal Fonksiyonun Monotonluğu Nasıldır?
Soru: f(x) = mx + n fonksiyonu hangi koşullarda artan ya da azalan olur?
Cevap:
- m > 0: f(x) artandır. x arttıkça f(x) değeri de artar.
- m < 0: f(x) azalandır. x arttıkça f(x) değeri azalır.
- m = 0: Fonksiyon sabittir. Bütün x değerleri için aynı f(x) değeri elde edilir, grafik yatay bir doğrudur.
6) Eksen Kesişimi Nasıl Bulunur?
Soru: f(x) = mx + n fonksiyonunun x-eksenini ve y-eksenini kestiği noktalar nasıl bulunur?
Cevap:
- y-eksenini kestiği nokta x=0 için f(0) = n, dolayısıyla kesim noktası: (0, n).
- x-eksenini kestiği nokta y=0 için 0 = mx + n ⇒ mx = –n ⇒ x = –n/m (m ≠ 0 olması gerekir).
7) f(x)=mx+n Fonksiyonunda f(c)=0 Olduğunda c Nasıl Bulunur?
Soru: f(c) = 0 olacak şekilde c’yi bulunuz.
Cevap:
0 = mc + n ⇒ mc = –n ⇒ c = –n / m.
Bu değer, fonksiyonun x-eksenini kestiği noktadaki x değeridir.
8) Doğrusal Fonksiyon Problemlerinde Uygulama Örneği
Soru: Bir bant atölyesinde her üretilen bant 3 TL’ye mal oluyor ve sabit giderler 50 TL ise, toplam maliyeti gösteren fonksiyonu yazınız ve 20 bant üretildiğinde maliyet ne olur?
Cevap:
- Fonksiyon: f(x) = 3x + 50. Burada x, üretilen bant sayısıdır, m=3 (bant başına maliyet), n=50 (sabit gider).
- x=20 için f(20) = 3(20) + 50 = 60 + 50 = 110 TL.
9) Bir Doğrusal Fonksiyonun Bir Noktadan Geçme Koşulu
Soru: f(x) = mx + n fonksiyonunun A(2, 5) noktasından geçmesi için m ve n arasında nasıl bir ilişki olmalıdır?
Cevap:
Fonksiyon A(2, 5)’ten geçiyorsa f(2) = 5 sağlanır:
5 = m·2 + n ⇒ 5 = 2m + n.
Bu eşitlik, m ve n arasında n = 5 – 2m ilişkisini gösterir.
10) Sabit Fonksiyon ile Doğrusal Fonksiyon Arasındaki Fark
Soru: m=0 ve n≠0 ise f(x)=n şeklindeki fonksiyona “doğrusal fonksiyon” diyebilir miyiz? Bu fonksiyonun grafiği nasıldır?
Cevap:
- f(x) = n şeklindeki fonksiyon, matematikte doğrusal fonksiyonun özel bir hali olarak kabul edilir (çünkü m=0, n sabit).
- Grafiği, y = n adı verilen yatay bir doğrudur.
- Bazı kaynaklarda “sabit fonksiyon” olarak da tanımlanır ancak doğrusal fonksiyon ailesi içinde de değerlendirilir.
Bu 10 soru ve cevap, 9. sınıf düzeyinde f(x)=mx+n şeklindeki bir fonksiyonun temel özelliklerini, grafik çizimini ve kullanımını özetlemektedir. Hem teorik hem de problem temelli sorulara yer verilerek konunun anlaşılması amaçlanmıştır.