Soru:
Bu fonksiyonun grafiği, x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim ve y ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelendiğine, oluşan yeni g(x) fonksiyonunun cebirsel temsili bulunuz.
g(x) = 2 \sqrt{x - 2} + 4
Soru Fotoğrafı:
Bu fonksiyonun grafiği, x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim ve y ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelendiğine, oluşan yeni g(x) fonksiyonunun cebirsel temsili bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir fonksiyonun grafiğini x ekseni boyunca h birim kaydırmak için, fonksiyonun içindeki x değerini x - (-h) = x + h şeklinde değiştiririz.
- Bir fonksiyonun grafiğini y ekseni boyunca k birim kaydırmak için fonksiyonun tamamına +k ekleriz.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Mevcut fonksiyon
Verilen fonksiyon:
g(x) = 2 \sqrt{x - 2} + 4
Adım 2 — x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim kaydırma
Negatif yönde 1 birim kaydırma demek, sağa 1 birim kaydırmak demek değildir, burada negatif yönde yani sola kaydırma var.
x ekseninde grafik sola 1 birim kayarsa, fonksiyonun içindeki x değerine +1 eklenir:
x \to x + 1
Buna göre fonksiyonun içi:
\sqrt{(x + 1) - 2} = \sqrt{x - 1}
Adım 3 — y ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim kaydırma
Fonksiyonun tamamına +4 eklenir:
2\sqrt{x - 1} + 4 + 4 = 2\sqrt{x - 1} + 8
Adım 4 — Yeni fonksiyonun ifadesi
Sonuç olarak, yeni fonksiyon:
g(x) = 2 \sqrt{x - 1} + 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
g(x) = 2 \sqrt{x - 1} + 8
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Bu fonksiyonun grafiği, x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim ve y ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelendiğine, oluşan yeni g(x) fonksiyonunun cebirsel temsili bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Yatay öteleme (sola sağa): x ekseninde sola h birim ötelemede x yerine x+h yazılır.
- Dikey öteleme (yukarı aşağı): y ekseninde yukarı k birim ötelemede fonksiyona +k eklenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıç fonksiyonunu yaz
Başlangıç fonksiyonu:
f(x)=2\sqrt{x-3}
Adım 2 — x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim (sola 1) ötele
Hazırlık (x yerine x+1 koyulur):
f_1(x)=2\sqrt{(x+1)-3}
=2\sqrt{x+1-3}
=2\sqrt{x-2}
Adım 3 — y ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim (yukarı 4) ötele
Hazırlık (üstüne +4 eklenir):
g(x)=f_1(x)+4
=2\sqrt{x-2}+4
CEVAP: \displaystyle g(x)=2\sqrt{x-2}+4
TEMEL KAVRAMLAR:
- Yatay öteleme
- Tanım: Fonksiyonun grafiğini sola/sağa kaydırma işlemi.
- Bu problemde: Sola 1 birim için x yerine x+1 yazıldı.
- Dikey öteleme
- Tanım: Fonksiyonun grafiğini yukarı/aşağı kaydırma işlemi.
- Bu problemde: Yukarı 4 birim için fonksiyona +4 eklendi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata — Yatay ötelemede işaret karışması
- Yanlış: Sola 1 birim için x-1 yazmak.
- Doğru: Sola 1 birim için x+1 yazılır.
- Neden yanlış: Yatay ötelemelerde giriş değişkeninin işareti ters çalışır.
- Düzeltme: Öteleme yönüne göre x yerine x\pm h kuralını unutmayın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
@sorumatik_uzman_bot benim çözüm şeklim yanlış ama mesela sen de 8 yazıyor artı 8 bende artık 4 yazıyor anlamadım bir de bana anlatır gibi anlatır mısın
Fonksiyonun Kaydırılması ve Yeni Fonksiyonun Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Yatay (x ekseni) ötelemelerde, grafiği sola h birim kaydırmak için fonksiyonda x yerine x + h yazılır.
- Dikey (y ekseni) ötelemelerde, grafiği yukarı k birim kaydırmak için fonksiyonun tamamına +k eklenir.
AÇIKLAMA ve ANLATIM:
Elimizdeki fonksiyon:
g(x) = 2 \sqrt{x - 2} + 4
- x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim kaydırmak ne demek?
Negatif yönde kaydırma, yani sola kaydırma demek. Grafik sola kayınca, bu kaydırmayı fonksiyonda nasıl gösteririz? Burada önemli olan şey şu:
- Grafiği sola kaydırmak için x yerine x + 1 yazmalıyız.
Çünkü fonksiyonun içine x - a geldiyse, aslında bu bize grafiğin sağa a kadar kaydığını anlatır. Tam tersini yapmak için işareti değiştirmelisiniz.
- Y fonksiyonuna nasıl eklenecek?
- y ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim yukarı kaydırma demek, fonksiyonun tümüne +4 eklemek demek.
Fonksiyonun üzerinde işlemler:
Başlangıç:
g(x) = 2 \sqrt{x - 2} + 4
1 birim sola kaydırma (x yerine x+1):
g_1(x) = 2 \sqrt{(x + 1) - 2} + 4 = 2 \sqrt{x - 1} + 4
4 birim yukarı kaydırma (fonksiyona +4 ekleme):
g_2(x) = 2 \sqrt{x - 1} + 4 + 4 = 2 \sqrt{x - 1} + 8
Özetle:
Senin yazdığın son formül:
g(x) = 2 \sqrt{x - 2} + 4
bu zaten başlangıç fonksiyonu. Sen x yönünde 1 birim sola kaydırma yapınca, yani x yerine x+1 koyunca içeride x-1 olur. Sonra yukarı kaydırma +4 ekleyince sonuç:
g(x) = 2 \sqrt{x - 1} + 8
olur.
Neden bazı çözümde +4 kalıyor bazı yerde +8 oluyor?
- Eğer başlangıçta g(x) = 2 \sqrt{x - 2} + 4 fonksiyonun varsa, yukarı 4 birim ötelersen son terime +4 daha eklersin → toplam 4 + 4 = 8.
- Ama başlangıç fonksiyon senin çalışma şekline göre 2 \sqrt{x - 3} ise ve sonra x yerine x + 1 yazarsan içerisi x - 2 olur, üstte de +4 kalır.
Yani başlangıç fonksiyonun ve verilen öteleme değerlerini tam net tutmak önemli.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?