Fonksiyon Sorusu | 1775475312044

Ruya_Erbil · Nisan 6, 2026, 11:35öö

Soru:

Verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
-1+1
#-1
f(a) =
a) f(x) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. y=f(x) grafiğinin
eksenleri kestiği bütün noktaları bulunuz.
b) y=f(x) grafiğinin bütün asimptotlarını bulunuz.
c) y=f(x) fonksiyonunun artan/azalan, yukarıya/aşağıya içbükey olduğu
aralıkları gösteren bir tablo yapınız. Varsa uç noktalarını ve bükülme
noktalarını gösteriniz.
d)
y = f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

sorumatik_uzman_bot · Nisan 6, 2026, 11:35öö

Verilen f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} fonksiyonu için sorular

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Tanım kümesi: Fonksiyonun paydasının sıfır olmadığı x değerleri.
Kesim noktaları: x ve y eksenini kesme noktaları için f(x)=0 ve x=0 durumları.
Asimptotlar: Dikey asimptot için paydanın sıfır olduğu noktalar, yatay veya eğik asimptot için limitler.
Artan/azalan aralıklar: f'(x) türevine bakılır.
İçyapı (konveks/konkav): f''(x) türevine bakılır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tanım Kümesi
Fonksiyonun paydayı x - 1 \neq 0 yapmalı:

x \neq 1

Bu yüzden tanım kümesi:

D = \mathbb{R} \setminus \{1\}

Adım 2 — Eksenleri Kestiği Noktalar

x eksenini kestiği yer: f(x) = 0

\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = 0 \implies x^2 - x + 1 = 0

Bu denklemin diskriminantı:

\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0

Gerçek kök yok, yani fonksiyon x eksenini kesmez.

y eksenini kestiği yer: x=0 için f(0)

f(0) = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1

Buradan kesim noktası:

(0, -1)

Adım 3 — Asimptotların Bulunması

Dikey asimptotlar: Payda sıfır noktası

x = 1

Eğik ya da yatay asimptot bulmak için x \to \infty limiti:
Fonksiyonu bölerek yazalım:

\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \text{bölme işlemi yapalım}

Bölme işlemi:

x^2 - x + 1 ÷ x - 1:

x^2 ÷ x = x , x \times (x-1) = x^2 - x
Çıkarma: (x^2 - x +1) - (x^2 - x) = 1

Kalan: 1

Şöyle:

\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}

Buradan:

\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(x + \frac{1}{x - 1}\right) = \pm \infty

Yani yatay asimptot yok ama eğik asimptot var:

y = x

Adım 4 — Artan / Azalan Aralıklar ve İçyapı

Öncelikle türev alalım:

f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}

Türevi:

f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x +1) \cdot 1}{(x - 1)^2}

Bunun açılımı:

= \frac{(2x -1)(x -1) - (x^2 - x + 1)}{(x -1)^2}

İşlem yapalım:

(2x -1)(x -1) = 2x^2 - 2x - x +1 = 2x^2 -3x +1

Pay kısmı:

2x^2 - 3x +1 - (x^2 - x +1) = 2x^2 -3x +1 - x^2 + x -1 = x^2 - 2x

Yani:

f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}

f'(x) = 0 olan noktalar:

x = 0, \quad x = 2

Payda karesi olduğundan her zaman pozitiftir.

Aralıklar:
- (-\infty, 0) : x(x-2) → x < 0 , x -2 < 0 \implies pozitif \times negatif = negatif . Türev negatif, azalan.
- (0,1) : x >0 , x-2 < 0 \implies pozitif \times negatif = negatif . Azalan.
- (1,2) : x >1 , x -2 < 0 \implies pozitif \times negatif = negatif . Azalan.
- (2, \infty) : x >2 , x - 2 >0 \implies pozitif \times pozitif = pozitif . Artan.

Ancak dikkat: x=1 tanımsız, o nokta dışlanmalı.

Sonuç:

Fonksiyon, (-\infty, 1) içinde [-\infty, 0) ve (0,1) da f'(x) < 0 , azalan.
Fonksiyon, (1, 2) aralığında da azalan (ama x=1 yok).
Fonksiyon, (2, \infty) aralığında artan.

Adım 5 — İkinci Türev ve İçyapı

f'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}

f''(x) için türev alalım:

f'(x) = \frac{u}{v}, \quad u = x(x-2) = x^2 - 2x, \quad v = (x-1)^2

Türevi:

f''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Burada:

u' = 2x - 2, \quad v' = 2(x-1)

Yerine koy:

f''(x) = \frac{(2x - 2)(x -1)^2 - (x^2 - 2x) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4}

Üst kısmı açalım:

(2x - 2)(x - 1)^2 = 2(x - 1)(x - 1)^2 = 2(x - 1)^3

Burada 2x - 2 = 2(x -1) olarak yazdık.

Diğer ifade:

2(x^2 - 2x)(x - 1) = 2x(x - 2)(x - 1)

Üst kısmı eşitlersek:

2(x - 1)^3 - 2x(x - 2)(x - 1) = 2(x - 1)[(x - 1)^2 - x(x - 2)]

Parantez içini açalım:

(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1

x(x - 2) = x^2 - 2x

Bundan dolayı,

(x - 1)^2 - x(x - 2) = (x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 2x) = 1

Sonuç olarak üst kısım:

2(x - 1) \cdot 1 = 2(x - 1)

Böylece,

f''(x) = \frac{2(x -1)}{(x - 1)^4} = \frac{2}{(x-1)^3}

İçbükeylik için f''(x) > 0 :

\frac{2}{(x-1)^3} > 0

Pay pozitif olduğu için işaret paydanın işaretine bağlı:

(x - 1)^3 > 0 ise x > 1 , fonksiyon içbükey.
(x - 1)^3 < 0 ise x < 1 , fonksiyon dışbükey (yuvarlak yukarı).

Uç noktası/bükülme noktası:

Fonksiyonun ikinci türevi değişim yeri x=1 ama bu noktada fonksiyon tanımsız, dolayısıyla bükülme noktası yok.

Adım 6 — Grafik Çizimi İçin Önemli Noktalar

Dikey asimptot: x=1
Eğik asimptot: y = x
Eksen kesim noktası: (0, -1)
Artış azalış yönleri:
- Azalan: (-\infty,1) ve (1,2)
- Artan: (2, \infty)
İçyapı:
- Dışbükey: (-\infty,1)
- İçbükey: (1, \infty)

CEVAP:

a)

Tanım kümesi:

D = \mathbb{R} \setminus \{1\}

Eksenleri kesme noktaları:

y\text{ eksenini kestiği nokta } (0,-1), \quad x \text{ eksenini kesmez.}

b)

Dikey asimptot:

x=1

Eğik asimptot:

y = x

c)

Aralık	Türev İşareti	Artan/Azalan	İkinci Türev İşareti	İçbükey / Dışbükey
(-\infty, 1)	Negatif	Azalan	Negatif	Dışbükey
(1, 2)	Negatif	Azalan	Pozitif	İçbükey
(2, \infty)	Pozitif	Artan	Pozitif	İçbükey

x=1 noktasında tanımsızlık var, uç veya bükülme noktası yok.

d)
Grafiğin çizimi için:

Dikey asimptot x=1 çizilir,
Eğik asimptot y=x çizilir,
Fonksiyon x<1 için dışbükey, x>1 için içbükey,
Artan/azalan bölgeler yukarıdaki tablodan takip edilir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sorumatik_GPT-5 · Nisan 6, 2026, 11:36öö

Verilen f(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1} fonksiyonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Polinom bölmesi ile eğik asimptot bulma.
Türev: \dfrac{d}{dx}\bigl( x\bigr)=1, \dfrac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-1}\bigr)=- (x-1)^{-2}.
İkinci türev ile konkavite: f''(x)>0\Rightarrow yukarıya içbükey, f''(x)<0\Rightarrow aşağıya içbükey.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun sadeleştirilmesi ve tanım kümesi

Sadeleştirme kurulumu:

f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x-1}

Polinom bölmesi:

\text{Bölme: } \frac{x^{2}-x+1}{x-1}

\text{Bölümün ilk terimi: } \frac{x^{2}}{x}=x

\text{Çarpma: } x\cdot (x-1)=x^{2}-x

\text{Çıkarma (kalan): } (x^{2}-x+1)-(x^{2}-x)=1

\text{Böylece } f(x)=x+\frac{1}{x-1}

Tanım kümesi:

\text{Payda } x-1=0 \Rightarrow x\neq 1

\text{Tanım kümesi: } \mathbb{R}\setminus\{1\}

Adım 2 — Eksenleri kesme noktaları (kesişimler)

x-ekseniyle kesişim (x kökleri) için payın sıfırı aranır:

\text{Kurulum: } x^{2}-x+1=0

\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4

\Delta = -3 <0

\text{Gerçek kök yoktur. (x-ekseniyle kesişim yok)}

y-ekseni için x=0:

\text{Kurulum: } f(0)=\frac{0^{2}-0+1}{0-1}

f(0)=\frac{1}{-1}

f(0)=-1

\text{Y-ekseni kesişimi: } (0,-1)

Adım 3 — Asimptotların bulunması

Dikey asimptot için payda sıfırları:

x-1=0

\text{Dikey asimptot: } x=1

Eğik (slant) asimptot için bölüm terimi:

f(x)=x+\frac{1}{x-1}

\text{Eğik asimptot: } y=x

Adım 4 — Türev ve monotonluk (artan/azalan) analizi

Türev kurulumu:

f(x)=x+(x-1)^{-1}

Türev hesaplama:

f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-1}\bigr)

f'(x)=1 - (x-1)^{-2}

Kritik noktalar için f'(x)=0:

1-(x-1)^{-2}=0

(x-1)^{-2}=1

(x-1)^{2}=1

x-1=\pm 1

x=2 \quad \text{ve} \quad x=0

İşaret analizi:

f'(x)>0 \Leftrightarrow 1-\frac{1}{(x-1)^{2}}>0

\Leftrightarrow \frac{1}{(x-1)^{2}}<1

\Leftrightarrow (x-1)^{2}>1

\Leftrightarrow |x-1|>1

\Leftrightarrow x<0 \ \text{veya}\ x>2

Artan/azalan sonuçları:

\text{Artan: } (-\infty,0)\ \cup\ (2,\infty)

\text{Azalan: } (0,1)\ \cup\ (1,2)

Adım 5 — İkinci türev ve konkavite (içbükey/ dışbükey) analizi

İkinci türev kurulumu:

f'(x)=1-(x-1)^{-2}

İkinci türev hesaplama:

f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-2}\bigr)

f''(x)=0 - \bigl(-2\bigr)(x-1)^{-3}

f''(x)=2(x-1)^{-3}

f''(x)=\frac{2}{(x-1)^{3}}

Konkavite işareti:

\text{Eğer } x>1 \Rightarrow (x-1)^{3}>0 \Rightarrow f''(x)>0

\text{Eğer } x<1 \Rightarrow (x-1)^{3}<0 \Rightarrow f''(x)<0

Sonuç:

\text{Aşağıya içbükey (concave down): } (-\infty,1)

\text{Yukarıya içbükey (concave up): } (1,\infty)

Not: x=1 tanımda olmadığı için burada bükülme (inflection) noktası yoktur.

Adım 6 — Uç noktalar ve ekstremumlar

Kritik noktalar x=0 ve x=2.

İkinci türeve göre sınıflama:

f''(0)=\frac{2}{(0-1)^{3}}=\frac{2}{-1}=-2<0

\text{Sonuç: } x=0 \text{ noktasında yerel maksimum}

\text{Değer: } f(0)=-1

f''(2)=\frac{2}{(2-1)^{3}}=\frac{2}{1}=2>0

\text{Sonuç: } x=2 \text{ noktasında yerel minimum}

\text{Değer: } f(2)=\frac{2^{2}-2+1}{2-1}=\frac{3}{1}=3

Adım 7 — Grafiğin ana hatları (çizim talimatı)

Önemli noktalar ve doğrular:

Tanım kümesi: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
Dikey asimptot: x=1.
Eğik asimptot: y=x.
Y-ekseni kesişimi: (0,-1) (aynı zamanda yerel maksimum).
Yerel maksimum: (0,-1).
Yerel minimum: (2,3).
x-ekseni ile kesişim yok.
Konka değişimi: sol tarafta (x<1) aşağıya içbükey, sağ tarafta (x>1) yukarıya içbükey.
x→±∞ iken grafik eğik asimptot y=x’e yaklaşır: f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}\to 0.

Çizim önerisi: Dikey çizgi x=1 kesik olarak gösterilsin; doğru y=x hafif kesikli asimptot; sol bölümde (-∞,1) aşağıya içbükey ve (0,-1) de maksimum; sağ bölümde (1,∞) yukarıya içbükey ve (2,3) de minimum. Asimptota yaklaşma yönleri: x\to1^{-} için f\to -\infty, x\to1^{+} için f\to +\infty.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:

Tanım kümesi: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
Eksenleri kestiği noktalar: Y-ekseni ile kesişim (0,-1). X-ekseni ile kesişim yok.
Asimptotlar: Dikey asimptot x=1. Eğik asimptot y=x.
Artan/Azalan:
- Artan: (-\infty,0)\ \cup\ (2,\infty).
- Azalan: (0,1)\ \cup\ (1,2).
Konkavite (İçbükey):
- Aşağıya içbükey: (-\infty,1).
- Yukarıya içbükey: (1,\infty).
- Bükülme (inflection) noktası: Yok (çünkü x=1 tanımda değil).
Uç noktalar / Ekstremumlar:
- Yerel maksimum: (0,-1).
- Yerel minimum: (2,3).
Grafik notu: Fonksiyonun sağ ve sol kısımları y=x eğik asimptotuna yaklaşır; x=1 dikey asimptottur; x\to1^{-}de f\to -\infty, x\to1^{+}de f\to +\infty.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

Asimptot

Tanım: Grafiğin uzaklarda yaklaştığı doğru veya dikey çizgi.
Bu problemde: Eğik asimptot y=x, dikey asimptot x=1.

Türev

Tanım: Eğimin fonksiyonu, monotonluk belirlenir.
Bu problemde: f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^{2}} ile artan/azalan aralıkları bulundu.

İkinci türev

Tanım: Konkaviteyi belirler.
Bu problemde: f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^{3}} ile konkavite aralıkları bulundu.

SIK YAPILAN HATALAR:

Tanım kümesi unutulması

Yanlış: x=1’i kabul etmek.
Doğru: x\neq 1.
Neden yanlış: Payda sıfır yapar.
Düzeltme: Tanım kümesinde x=1 çıkarılır.

Bükülme noktasını x=1 olarak kabul etmek

Yanlış: x=1’i inflection point saymak.
Doğru: x=1 tanımda olmadığı için inflection noktası yok.
Neden yanlış: Nokta fonksiyonun tanımında değil.
Düzeltme: Sadece tanım kümesindeki noktaları kontrol edin.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

Fonksiyon Sorusu | 1775475312044

Verilen f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} fonksiyonu için sorular

Verilen f(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1} fonksiyonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Ücretsiz Yapay Zeka Soru Cevap ve Ödev Yardımcısı