- : R R tanımli, (X)-x+k fonkslyonu için f(9) 14 eşltlğl verillyor. Buna göre, 1(25) değerl kaçtır? A) 9 B) 11 C) 16 D) 17 E) 20
!Resim [Link Silindi]
f(25) Değeri Kaçtır?
Önemli Noktalar
- f(x) = √x + k fonksiyonu için f(9) = 14 verildiğinde, k = 11 bulunur.
- f(25) = √25 + 11 = 5 + 11 = 16 olarak hesaplanır.
- Doğru cevap: C) 16 (YKS TYT seviyesinde temel fonksiyon hesabı).
f(x) = √x + k şeklinde tanımlı fonksiyon için f(9) = 14 koşuluyla f(25) değeri 16’dır. Bu, kök fonksiyonunun temel özelliği ve sabit k değerinin belirlenmesiyle doğrudan hesaplanır. YKS TYT’de benzer sorular, fonksiyonların lineer olmayan kısımlarını anlamayı test eder.
İçindekiler
Fonksiyon Tanımı ve Verilen Bilgi
f: ℝ → ℝ tanımlı fonksiyon, f(x) = √x + k şeklinde verilmiş. Burada √x, x’in karekökünü gösterir ve k sabit bir sayıdır. Fonksiyonun tanım kümesi x ≥ 0 olmalıdır, çünkü karekök negatif sayılarda gerçek sayılarda tanımlı değildir (gerçek sayılar kümesi için).
Verilen: f(9) = 14.
Bu, √9 + k = 14 denklemine karşılık gelir. √9 = 3 olduğundan, 3 + k = 14 ve k = 11 bulunur.
YKS TYT bağlamında, bu tür sorular fonksiyonların yerine koyma ve sabit belirleme becerisini ölçer. Pratikte, mühendislikte mesafe veya hız hesaplarında benzer kök ifadeleri kullanılır (örneğin, √(x² + y²)).
Pro İpucu: Karekök fonksiyonu her zaman pozitif sonuç verir (√x ≥ 0), bu yüzden k negatif olabilir ama burada pozitif çıkmıştır.
Adım Adım Çözüm
Adım 1: k Değerini Bulma
f(9) = √9 + k = 14
√9 = 3 (çünkü 3² = 9)
3 + k = 14
k = 14 - 3 = 11
Adım 2: f(25) Hesaplaması
f(25) = √25 + k
√25 = 5 (çünkü 5² = 25)
f(25) = 5 + 11 = 16
Matematiksel olarak:
f(x) = \sqrt{x} + k
f(9) = \sqrt{9} + k = 3 + k = 14 \implies k = 11
f(25) = \sqrt{25} + 11 = 5 + 11 = 16
Uyarı: Tanım kümesini unutmayın; x < 0 için fonksiyon gerçek sayılarda tanımlı olmaz. YKS’de bu tür hatalar puan kaybettirir.
Bu çözüm, 2024 YKS TYT Matematik müfredatındaki “Fonksiyonlar” ünitesine uyar (MEB kaynakları). Gerçek hayatta, bu yapı finansal modellerde (örneğin, bileşik faizde kök ifadeler) benzer şekilde kullanılır.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Fonksiyon | f(x) = √x + k |
| Verilen | f(9) = 14 |
| k Hesabı | k = 14 - √9 = 14 - 3 = 11 |
| f(25) | √25 + 11 = 5 + 11 = 16 |
| Doğru Seçenek | C) 16 |
| Tanım Kümesi | x ≥ 0 |
Sık Sorulan Sorular
1. k negatif olsaydı ne olurdu?
k negatif çıkabilirdi, ancak burada pozitif. Örneğin k = -2 olsaydı f(25) = 5 - 2 = 3 olurdu. YKS’de işaret hatalarına dikkat edin.
2. √x’in değeri nasıl hesaplanır?
√x, x’in pozitif kareköküdür. 9 için 3, 25 için 5. Negatif kökler karmaşık sayılarda geçerlidir ama gerçek sayılarda sadece pozitif alınır.
3. Bu fonksiyon lineer mi?
Hayır, √x nedeniyle non-lineer (eğri grafik). Lineer olsaydı f(x) = mx + b şeklinde olurdu.
Sonraki Adımlar
Bu soruyu çözdük, şimdi benzer bir fonksiyon problemi çözmek ister misin, yoksa YKS TYT için fonksiyonlar konusundan bir quiz mi hazırlayayım?
Fonksiyon Problemi: f(x) = √x + k için f(9) = 14 ve f(25) Değerinin Hesaplanması
Önemli Noktalar
- Fonksiyon f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} , f(x) = \sqrt{x} + k şeklindedir.
- f(9) = 14 verilmiştir ve buradan k sabiti bulunmalıdır.
- K bulunan değerle birlikte f(25) hesaplanmalıdır.
Fonksiyon f(x) = \sqrt{x} + k olduğuna göre, f(9) = \sqrt{9} + k = 3 + k olur. Verilen bilgiye göre f(9) = 14 ise:
3 + k = 14 \Rightarrow k = 11
Buna göre, f(25) = \sqrt{25} + k = 5 + 11 = 16 bulunur. Doğru cevap C) 16.
İçindekiler
1. Sorunun Çözümü
Fonksiyon tanımı:
f(x) = \sqrt{x} + k
Verilen eşitlik:
f(9) = 14 \implies \sqrt{9} + k = 14 \implies 3 + k = 14
Buradan:
k = 11
Fonksiyon artık:
f(x) = \sqrt{x} + 11
İstenen değer:
f(25) = \sqrt{25} + 11 = 5 + 11 = 16
2. Detaylı Açıklama ve Örnekler
Bu tip fonksiyon problemlerinde bilinmeyen sabiti bulmak için verilen fonksiyon değeri kullanılır. Burada fonksiyonunuz karekök ve sabit terim içerdiği için:
- Önce bilinen f(9) = 14 eşitliğinde k sabiti bulunur.
- Bulunan k ile görev fonksiyon tamamlanır ve başka x değerleri için fonksiyonun sonucu hesaplanır.
Örnek: Eğer farklı bir f(a) = b verilseydi, denklemi çözmek için:
\sqrt{a} + k = b \implies k = b - \sqrt{a}
3. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Fonksiyon | f(x) = \sqrt{x} + k | - |
| Verilen bilgi | f(9) = 14 | 3 + k =14 |
| Sabit k | Çözüm | k =11 |
| İstenen değer | f(25) | 5 + 11=16 |
| Doğru seçenek | C) 16 |
Sık Sorulan Sorular
1. Fonksiyondaki k nedir?
k , fonksiyona eklenen sabit bir sayıdır ve verilenlerden bulunur.
2. Karekök fonksiyonlarında k nasıl bulunur?
Bir nokta için f(x) değeri verilirse, denklemi çözerek k değeri hesaplanır.
3. Fonksiyon tanımında \mathbb{R}^+ ne anlama gelir?
Pozitif reel sayılar kümesini ifade eder; burada sadece pozitif x değerleri için fonksiyon tanımlıdır.
Sonraki Adımlar
Bu fonksiyon türü ve benzerleriyle ilgili daha karmaşık problemlerde fonksiyon bileşkesi ve ters fonksiyon konularını incelemek ister misiniz?