Cevap:
Soru 1: Y Eksenine Göre Simetri
Y eksenine göre simetri, fonksiyonun aşağıdaki şartı sağlamasıyla belirlenir:
Bu ifade, bir fonksiyonun grafiğinin y eksenine göre simetrik olmasının matematiksel tanımıdır.
Soruya Bakıldığında:
Verilen Fonksiyonlar:
A) ( f(x) = x + 1 ):
Bu fonksiyon doğrusal olup ( f(-x) = -x + 1 )'dir. ( f(x) \neq f(-x) ) olduğundan y eksenine göre simetrik değildir.
B) ( g(x) = 2x + 4 ):
Bu fonksiyon doğrusal olup ( f(-x) = -2x + 4 )'dir. ( g(x) \neq g(-x) ) olduğundan y eksenine göre simetrik değildir.
C) ( h(x) = x^2 + 4x ):
Bu fonksiyonun ( h(-x) = (-x)^2 + 4(-x) )'dır, yani ( h(-x) = x^2 - 4x ). ( h(x) \neq h(-x) ) olduğundan y eksenine göre simetrik değildir.
D) ( t(x) = |x - 2| ):
Mutlak değer fonksiyonunun grafiği her zaman simetri kurallarına dikkat etmelidir. ( t(-x) = |(-x) - 2| ) ve ( t(x) \neq t(-x) )'dir. Bu nedenle, y eksenine göre simetrik değildir.
E) ( k(x) = 7 ):
Bu fonksiyon sabit bir fonksiyondur (( k(-x) = 7 )) ve daima y eksenine göre simetriktir.
Doğru Cevap: E şıkkı - ( k(x) = 7 )
Soru 2: Orijine Göre Simetri
Orijine göre simetri, fonksiyonun aşağıdaki şartı sağlamasıyla belirlenir:
Bu ifade, bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olmasının matematiksel tanımıdır.
Verilen Fonksiyon:
Orijine göre simetri sağlanması için:
- ( x^3 )'lü terimler işaret değiştirdiğinde sabit kalır çünkü ((-x)^3 = -x^3).
- ( x^2 )'li terimler işaret değiştirdiğinde negatif bir sonuç verir.
- Sabit terimler ve ( b )'yi işlemden çıkarırız.
Bu formülü analiz edersek:
Grafikte dikkat edilmesi gereken ( f(a-b) )'dir.
Böylece ifade şu olur:
Sonuç:
Sorunun doğru çözümü grafikte uygun terimleri seçerek işlemleri yürütmekten geçer. Fonksiyon grafiği simetriktir ve doğru cevap ( 2x^3 )'tir.
Özet Tablo
| Kriter | Fonksiyon | Simetri Türü |
|---|---|---|
| Y eksenine göre simetri | ( k(x) = 7 ) | Kaydırılabilir veya durağan simetrik |
| Orijine göre simetri | ( f(x) = 2x^3 ) | Simetrik ((-x)^3 = -x^3) kuralına uyar. |
Serap Gündoğan, sorularınızı başarıyla çözdük. Eksik bir nokta varsa eklememizi rica ederim. 
Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisinin grafiği y eksenine göre simetriktir? sorusunda y‐ekseni simetrisi (even/even function) için gerekli koşul, fonksiyonun tüm x değerlerinde şu eşitliği sağlamasıdır:
Seçenekleri incelediğimizde:
• A) f(x) = x + 1 ⇒ f(-x) = -x + 1 ≠ x + 1
• B) g(x) = 2x + 4 ⇒ g(-x) = -2x + 4 ≠ 2x + 4
• C) h(x) = x^2 + 4x ⇒ h(-x) = (-x)^2 + 4(-x) = x^2 - 4x ≠ x^2 + 4x
• D) t(x) = |x - 2| ⇒ t(-x) = |-x - 2| = |-(x+2)| = |x + 2|;
bu, |x - 2| ile eşit olmaz; dolayısıyla y-ekseni simetrisi yoktur.
• E) k(x) = 7 ⇒ k(-x) = 7 = k(x).
Buradan anlaşılıyor ki k(x) = 7 fonksiyonu sabit (yatay) bir doğrudur ve her x değeri için aynı sonuç verdiği için y eksenine göre simetriktir. Dolayısıyla doğru yanıt E) seçeneğidir.
f Fonksiyonunun Orijine Göre Simetrisi
İkinci kısımda ekranda görülen başka bir soru da şu şekilde:
“f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f(x) = (a - 2)x³ + (4 - a)x² + x - b + 2.
Buna göre f(a - b) kaçtır?”
Bir fonksiyonu orijine göre simetrik kılan koşul ise (odd function) şu eşitlikledir:
Bu, fonksiyonda çift dereceli (x², x⁴ vb.) terimlerin katsayılarının sıfır olması ve sabit terimin de 0 olması gerektiği anlamına gelir.
- (4 - a)x² teriminin kaybolabilmesi için:
(4 - a) = 0 ⇒ a = 4 - Sabit terim “-b + 2” nin 0 olması için:
-b + 2 = 0 ⇒ b = 2
Bu değerleri yerine koyduğumuzda:
f(x) = (4 - 2)x³ + (4 - 4)x² + x - 2 + 2
= 2x³ + x.
Soru “f(a - b) kaçtır?” diyordu; a = 4 ve b = 2 olduğuna göre a - b = 2 olduğundan:
Böylece bu ikinci sorunun cevabı 18 olmaktadır.
Özet Tablo
| Soru | Gerekli Koşul ve Çözüm | Sonuç |
|---|---|---|
| ∙ “Hangi fonksiyon y eksenine göre simetriktir?” | f(-x) = f(x) kuralı sağlanmalı; yalnızca k(x)=7 uygundur. |
E) k(x)=7 |
| ∙ “f(x) orijine göre simetrik ise f(-x)=-f(x), (a-2)x³+(4-a)x²+…=0 koşulları” | a=4 ve b=2 bulunur; sonuçta f(x)=2x³ + x ⇒ f(2)=18 | Cevap: 18 |
Cevap:
- Y eksenine göre simetrik fonksiyon E) k(x)=7’dir.
- f(x) diye verilen orijine göre simetrik fonksiyonda a=4, b=2 olur ve f(a-b)=f(2)=18 çıkar.
Aşağıdaki soru ve görsellere dayalı olarak: “Verilen fonksiyonlardan hangisinin grafiği y eksenine göre simetriktir?” ve “Orijine göre simetrik olan bir fonksiyonun parametreleri bulunduktan sonra f(a-b) nedir?” konularını detaylı biçimde ele alalım.
İçindekiler
- Y-Eksenine Göre Simetri (Even Fonksiyonlar) Nedir?
- Verilen Fonksiyonların Y-Eksenine Göre Simetri Analizi
- Tablo: Y-Eksenine Göre Simetri Koşulları
- Orijine Göre Simetri (Odd Fonksiyonlar) Nedir?
- Örnek Soru: f(x) = (a - 2)x³ + (4 - a)x² + x - b + 2 ve Orijine Göre Simetri
- Adım Adım Çözüm: a ve b Değerlerinin Bulunması
- f(a - b) Değerinin Hesaplanması
- Önemli Hatırlatmalar ve Ek Örnekler
- Özet Tablo
- Kısa Özet ve Sonuç
1. Y-Eksenine Göre Simetri (Even Fonksiyonlar) Nedir?
Bir fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik ise, bu fonksiyon için aşağıdaki koşul sağlanır:
Bu özelliğe sahip fonksiyonlara “even” (çift) fonksiyon denir. Grafiksel olarak bakıldığında, fonksiyonun sağ tarafı ile sol tarafı y ekseni üzerinde üst üste çakışacak şekilde simetrik durur.
2. Verilen Fonksiyonların Y-Eksenine Göre Simetri Analizi
Soru kökünde şu fonksiyonlar verilmişti:
A) f(x) = x + 1
B) g(x) = 2x + 4
C) h(x) = x² + 4x
D) t(x) = |x - 2|
E) k(x) = 7
Bu fonksiyonlardan y eksenine göre simetrik olanı bulmak için her birine tek tek f(-x) uygulayarak f(x) ile karşılaştırırız.
-
f(x) = x + 1
- f(-x) = -x + 1 ≠ x + 1
- Y eksenine göre simetrik değil.
-
g(x) = 2x + 4
- g(-x) = -2x + 4 ≠ 2x + 4
- Y eksenine göre simetrik değil.
-
h(x) = x² + 4x
- h(-x) = (-x)² + 4(-x) = x² - 4x ≠ x² + 4x
- Y eksenine göre simetrik değil.
-
t(x) = |x - 2|
- t(-x) = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|
- Genel olarak |x - 2| = |-(x+2)| → y eksenine göre tam simetri sağlamaz; ekseni x = 1 gibi başka bir dikey doğruya kaydığı durumlar ortaya çıkabilir. Dolayısıyla formu y eksenine göre simetrik değildir.
-
k(x) = 7
- k(-x) = 7, k(x) = 7
- f(-x) = f(x) = 7
- Bu fonksiyon sabit bir fonksiyon olduğundan tüm x değerleri için çıktısı aynı ve y eksenine göre simetrik.
Dolayısıyla y eksenine göre simetrik tek fonksiyon, k(x) = 7 seçeneğidir.
3. Tablo: Y-Eksenine Göre Simetri Koşulları
| Fonksiyon | Y-Eksenine Göre Simetri İncelemesi | Sonuç |
|---|---|---|
| f(x) = x + 1 | f(-x) = -x + 1 ≠ x + 1 | Simetrik Değil |
| g(x) = 2x + 4 | g(-x) = -2x + 4 ≠ 2x + 4 | Simetrik Değil |
| h(x) = x² + 4x | h(-x) = x² - 4x ≠ x² + 4x | Simetrik Değil |
| t(x) = | x-2 | |
| k(x) = 7 | k(-x) = 7 = k(x) | Simetrik |
Tablodan görüldüğü gibi y eksenine göre simetriyi sağlayan fonksiyon yalnızca k(x)=7’dir.
4. Orijine Göre Simetri (Odd Fonksiyonlar) Nedir?
Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrik ise, şu koşul geçerlidir:
Bu özelliğe sahip fonksiyonlar “odd” (tek) fonksiyon olarak adlandırılır. Grafik olarak bakıldığında, fonksiyonun birinci bölgedeki kısmı ile üçüncü bölgedeki kısmı orijinden (0,0) geçerek simetrik görünür.
Örneğin f(x) = x^3 fonksiyonu bu özelliği sağlar:
- f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x).
5. Örnek Soru: f(x) = (a - 2)x³ + (4 - a)x² + x - b + 2 ve Orijine Göre Simetri
Soru diyor ki: “f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.” Bunun anlamı:
olmalıdır. Bunun yanı sıra fonksiyon
şeklinde veriliyor. Orijine göre simetri koşuluyla a ve b değerlerini buluyoruz. Ardından f(a - b) değerini hesaplamamız isteniyor.
6. Adım Adım Çözüm: a ve b Değerlerinin Bulunması
Adım 1: f(-x) Hesaplanması
Fonksiyonu x yerine -x koyarak yazalım:
Bunu açarak:
- (-x)^3 = -x^3,
- (-x)^2 = x^2,
- (-x) = -x.
Dolayısıyla,
Yayarak:
Adım 2: -f(x) Hesaplanması
Orijine göre simetri şartı f(-x) = -f(x) olduğundan, bir de $-f(x)$’i bulmak gerekir:
Bunu dağıtırsak:
Adım 3: Eşitlik Kurulumu
Orijine göre simetri için:
yani,
Bu eşitliğin tüm x değerleri için geçerli olması gerekir. O halde bütün katsayıları karşılaştırarak şu sistemleri elde ederiz:
-
x^3 Terimleri:
- Sol: -(a-2)
- Sağ: -(a-2)
- Birbirine eşit; bu bize ekstra koşul vermez (otomatik olarak sağlanıyor).
-
x^2 Terimleri:
- Sol: (4 - a)
- Sağ: -(4 - a)
- Eşit olmaları için (4 - a) = -(4 - a) gerekir.
$$4 - a = -4 + a \implies 4 + 4 = a + a \implies 8 = 2a \implies a = 4.$$
-
x^1 Terimleri:
- Sol: -1
- Sağ: -1
- Zaten eşit, yeni bir bilgi vermez.
-
Sabit Terim:
- Sol: - b + 2
- Sağ: b - 2
- Eşit olmaları için -b + 2 = b - 2.
$$-b - b = -2 - 2 \implies -2b = -4 \implies b = 2.$$
Sonuç olarak orijine göre simetri olması için:
7. f(a - b) Değerinin Hesaplanması
Bulduğumuz a ve b değerlerini kullanarak f(a-b) hesaplayalım.
-
Önce a - b değerini bulalım:
$$a - b = 4 - 2 = 2.$$ -
f(x) ifadesine a=4 ve b=2 koyduğumuzda:
f(x) = (4 - 2)x^3 + (4 - 4)x^2 + x - 2 + 2.Sadeleştirelim:
- (4 - 2) = 2,
- (4 - 4) = 0,
- -2 + 2 = 0.
Dolayısıyla,
f(x) = 2x^3 + x. -
Artık x yerine 2 koyarak f(2) bulalım:
f(2) = 2 \cdot (2^3) + 2 = 2 \cdot 8 + 2 = 16 + 2 = 18.
Cevap: f(a-b) = 18.
8. Önemli Hatırlatmalar ve Ek Örnekler
- Y eksenine göre simetri (even): f(-x) = f(x).
- Orijine göre simetri (odd): f(-x) = -f(x).
- Genellikle tek kuvvetli (3, 5, 7…) terimler kalırken, sabit terim ve çift kuvvetli (2, 4, 6…) terimler yok olur.
- Bazı fonksiyonlar hem y eksenine hem x eksenine hem de orijine göre farklı farklı simetrilere sahip olabilir; ancak en yaygın sorulan türler “y eksenine göre simetri” ve “orijine göre simetri”dir.
- Mutlak değer fonksiyonları (|x|) genelde y eksenine göre simetriktir; ancak |x - k| formunda bir kayma varsa, genellikle y eksenine göre simetri bozulur.
9. Özet Tablo
| Konu Başlığı | Tanım / Koşul | Örnek Fonksiyon | Örnek İspatlardan Biri |
|---|---|---|---|
| Y eksenine göre simetri (Even) | f(-x) = f(x) | f(x)=x^2, f(x)=7 | (-x)^2 = x^2 |
| Orijine göre simetri (Odd) | f(-x) = -f(x) | f(x)=x^3, f(x)=\sin x | (-x)^3 = -x^3 |
| Soru Örneği (Y ekseni) | “Hangisi y eksenine göre simetriktir?” | k(x)=7 | k(-x)=7 = k(x) |
| Soru Örneği (Orijin) | f(x)=(a-2)x^3+(4-a)x^2+x-b+2 orijine göre simetrik | a=4,\ b=2 bulundu | f(2)=18 |
10. Kısa Özet ve Sonuç
- Y Eksenine Göre Simetri: Verilen seçenekler arasında k(x) = 7 sabit fonksiyonu f(-x)=f(x) koşulunu sağladığı için y eksenine göre simetriktir.
- Orijine Göre Simetri: f(x) fonksiyonunun orijine göre simetrik olması için f(-x)=-f(x) şartı sağlanır. Buna göre a=4 ve b=2 bulunur. Son adımda f(a-b) = f(2) = 18 elde edilir.
Bu şekilde hem y eksenine göre hem de orijine göre simetrik fonksiyonlarda nelere dikkat edilmesi gerektiğini hatırlıyoruz.
Cevapların özeti:
- “Y eksenine göre simetri” sorusunda doğru cevap: k(x)=7.
- “Orijine göre simetri” sorusu için a=4, b=2 ve f(a-b)=18.