(fog)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri birbiriyle kesişmemekte olup f(x) ve (fog)(x) fonksiyonlarının

YKS TYT
1

(fog)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri birbiriyle kesişmemekte olup f(x) ve (fog)(x) fonksiyonlarının grafiklerinden biri bu noktaların ikisinden, diğeri ise kalan iki noktadan geçmektedir.
Buna göre, (gof)(8) değeri kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4

(fog)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri birbiriyle kesişmemekte olup f(x) ve...
(fog)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri birbiriyle kesişmemekte olup f(x) ve...1024×786 67.3 KB

2

Doğrusal Fonksiyonlar ve Bileşke Fonksiyon Grafikleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Doğrusal fonksiyon denklemi: f(x) = ax + b
  • İki doğrunun kesişmemesi için eğimlerinin eşit ve doğruların paralel olması gerekir:
    m_1 = m_2 \quad \text{ve} \quad n_1 \neq n_2
  • İki noktası (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) bilinen doğrunun eğimi:
    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonların Eğim İlişkisinin Belirlenmesi
f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d olsun. Bileşke fonksiyon:

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(cx + d) + b = acx + ad + b

(f \circ g)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri kesişmediğine göre bu iki doğru birbirine paraleldir. Dolayısıyla eğimleri eşit olmalıdır:

ac = c

Doğrular sabit fonksiyon belirtmediğinden (c \neq 0), her iki taraf c’ye bölündüğünde:

a = 1

elde edilir. Buradan f(x) fonksiyonunun eğiminin 1 olduğu anlaşılır:

f(x) = x + b \implies (f \circ g)(x) = g(x) + b

Adım 2 — Noktaların Koordinatlarının ve Fonksiyon Doğrularının Tespiti
Birim kareli dik koordinat düzlemindeki 4 noktanın koordinatları:

(3, 2), \quad (5, 4), \quad (4, 1), \quad (5, 3)

  • Eğimi 1 olan doğru f(x) fonksiyonuna ait olmalıdır. (3, 2) ve (5, 4) noktalarından geçen doğrunun eğimini inceleyelim:

    m = \frac{4 - 2}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1

    Bu iki nokta f(x) grafiği üzerindedir. Noktalardan biri denklemde yerine yazılırsa:

    f(3) = 3 + b = 2 \implies b = -1
    f(x) = x - 1

  • Kalan iki nokta olan (4, 1) ve (5, 3) ise (f \circ g)(x) grafiği üzerindedir. Bu doğrunun eğimi (c):

    c = \frac{3 - 1}{5 - 4} = \frac{2}{1} = 2

    (f \circ g)(x) = 2x + k denkleminde (4, 1) noktası yerine yazılırsa:

    1 = 2(4) + k \implies k = -7
    (f \circ g)(x) = 2x - 7

Adım 3 — g(x) Fonksiyonunun Bulunması ve (g \circ f)(8) Değerinin Hesaplanması
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = g(x) - 1 olduğundan:

g(x) - 1 = 2x - 7 \implies g(x) = 2x - 6

İstenen (g \circ f)(8) = g(f(8)) değerini bulalım:

f(8) = 8 - 1 = 7

$$g(7) = 2(7) - 6 =