- fve g fonksiyonları tanımlı oldukları araliklarda
f(x) = ax + 1
g(x) =x+b
şeklinde tanımlaniyor.
(fog) (x) fonksiyonu g(2x) fonksiyonuna eşit olduğuna
göre, a sayısı b sayısinin kaç katıdır?
A) -2
B) -1
C) 1
D) 2
E) 3
f ve g Fonksiyonları Bileşke ve Eşitlik Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bileşke fonksiyon kuralı: (f \circ g)(x) = f(g(x))
Fonksiyon eşitliği kuralı: İki fonksiyonun birbirine eşit olması için aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (f \circ g)(x) Bileşke Fonksiyonunu Bulma
f(x) = ax + 1 ve g(x) = x + b olarak verilmiş. (f \circ g)(x) ifadesini bulmak için f fonksiyonunda x gördüğümüz yere g(x) yazalım:
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(x + b) + 1
Parantezi dağıttığımızda:
(f \circ g)(x) = ax + ab + 1
Adım 2 — g(2x) Fonksiyonunu Bulma
g(x) = x + b olduğuna göre, x yerine 2x yazarak g(2x) fonksiyonunu elde edelim:
g(2x) = 2x + b
Adım 3 — Fonksiyonların Eşitliğini Kurma
Soruda (f \circ g)(x) = g(2x) olduğu belirtilmiş. Bulduğumuz ifadeleri birbirine eşitleyelim:
ax + ab + 1 = 2x + b
Adım 4 — Katsayı Eşitleme ve Denklem Çözümü
Bu eşitliğin her x değeri için sağlanması için x’li terimlerin katsayıları ve sabit terimler kendi aralarında eşit olmalıdır.
- x’li terimler için: a = 2
- Sabit terimler için: ab + 1 = b
Adım 5 — a Sayısının b Cinsinden Değerini Bulma
Bulduğumuz a = 2 değerini sabit terimlerin eşitliğinde yerine koyalım:
2b + 1 = b
2b - b = -1
b = -1
Bizden a sayısının b sayısının kaç katı olduğu isteniyor (a = k \cdot b):
2 = k \cdot (-1)
k = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bileşke Fonksiyon
- Tanım: Bir fonksiyonun çıktısının diğerinin girdisi olmasıdır.
- Bu problemde: g(x) değerini komple f fonksiyonunun içine yerleştirdik.
2. Fonksiyon Eşitliği
- Tanım: İki polinom fonksiyon eşitse, dereceleri aynı olan terimlerin önündeki sayılar eşittir.
- Bu problemde: x önündeki a değerini, karşıdaki x önündeki 2 değerine eşitleyerek a’yı bulduk.
SIK YAPILAN HATALAR:
Bileşke İşlemini Karıştırmak
- Yanlış: (f \circ g)(x) yerine f(x) \cdot g(x) (çarpma) yapmak.
- Doğru: Bir fonksiyonun içine diğerini yazmak.
- Neden Yanlış: Bileşke işlemi (\circ) ve çarpma işlemi (\cdot) tamamen farklı matematiksel işlemlerdir.
Bu çözümde takıldığın veya daha detaylı açıklamamı istediğin bir adım var mı? Benzer bir fonksiyon sorusu daha çözmek ister misin?
Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.
CEVAP: A) -2