(fog-1) offx) = x+
-1(2x) =x
ve
olduğuna göre, (fog)x) nedir?
A) 2x -3
B) 2x -1
C) x+ 4
D) x- 1
E) 2x + 4
,-1(f(x))=X-a-2
Bileşke ve Ters Fonksiyon Özellikleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bileşkenin Tersi: (u \circ v)^{-1} = v^{-1} \circ u^{-1}
- Tersin Tersi: (g^{-1})^{-1} = g
- Birim Fonksiyon Özelliği: f^{-1} \circ f = I \implies (g \circ I)(x) = g(x)
- Ters Fonksiyon Tanımı: f^{-1}(a) = b \iff f(b) = a
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ters Alma Kuralını Uygulama
Bileşke fonksiyonun tersi alınırken fonksiyonların sırası değişir ve her birinin tersi alınır:
\left(f \circ g^{-1}\right)^{-1} = \left(g^{-1}\right)^{-1} \circ f^{-1} = g \circ f^{-1}
Bu ifadeyi verilen eşitlikte yerine yazalım:
(g \circ f^{-1} \circ f)(x) = x + 2
Adım 2 — g(x) Fonksiyonunu Bulma
Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyonu (I) verir: f^{-1} \circ f = I.
Buradan:
g(I(x)) = x + 2 \implies g(x) = x + 2
Adım 3 — f(x) Fonksiyonunu Bulma
Bize f^{-1}(2x) = x olarak verilmiştir. Ters fonksiyon tanımı gereği:
f(x) = 2x
Adım 4 — (f \circ g)(x) Bileşkesini Hesaplama
(f \circ g)(x) = f(g(x)) ifadesinde bulduğumuz fonksiyonları yerine koyalım:
(f \circ g)(x) = f(x + 2)
f(x) = 2x kuralında x yerine (x + 2) yazarsak:
f(x + 2) = 2(x + 2) = 2x + 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E — 2x + 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bileşkenin Tersi: Ters alma işlemi sırayı tersine çevirir; bu soruda parantez açıldığında f^{-1} ile f yan yana gelerek birbirini nötrler.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \left(f \circ g^{-1}\right)^{-1} ifadesini sırayı değiştirmeden f^{-1} \circ g şeklinde açmak.- Doğru Yaklaşım: Sırayı ters çevirerek \left(g^{-1}\right)^{-1} \circ f^{-1} = g \circ f^{-1} şeklinde yazmaktır.
Benzer bir bileşke-ters fonksiyon sorusuyla bu konuyu pekiştirmek ister misin?