Soru Analizi ve Çözüm
Soru:
Bir düzlem ayna, saydam olmayan küresel bir X cismi ve ışıklı L, M, N, K cisimleri verilmiştir. G noktasından aynaya bakan bir gözlemci; ışıklı K, L, M ve N cisimlerinden hangilerinin aynada oluşan görüntüsünü görebilir?
Resim Açıklaması:
Soruda bir düzlem ayna ve koordinat sistemi üzerine yerleştirilmiş cisimler var. Gözlemci G noktasından aynaya bakıyor ve görüntüyü göreceği cisimler aranıyor. Gözlemcinin görüş açısına giren cisimlerin aynada görüntüsü oluşur.
Çözüm Adımları
1. Düzlem Ayna Özellikleri
- Bir düzlem ayna, gelen ışığı simetrik olarak yansıtır.
- Gözlemcinin, aynaya bakan tarafında olan ışıklı cisimlerin görüntüsü aynada görülür.
- Ayna, koordinat eksenlerine göre simetri sağlar.
2. İlgili Cisimleri İnceleme
G noktası aynanın sol alt köşesinde bulunuyor. Gözlemcinin gördüğü ışıklı cisimlerin değerlendirilmesi:
K Cismi
- K cismi aynanın sol tarafındadır (yani G’nin görüş açısında).
- Aynada yansıması görülür.
L Cismi
- L cismi aynanın sağ tarafında ancak G noktasındaki gözlemci aynadaki yansımasını görebilir.
M Cismi
- M aynanın sağ tarafındadır ve G gözlemcisi yansımasını görebilir.
N Cismi
- N cismi ortada ve aynanın sağ tarafındadır. G gözlemcisi N’nin aynadaki görüntüsünü görebilir.
3. Tespit Sonucu
G gözlemcisi aynada K, M ve N cisimlerini görebilir. Ancak L’nin aynadaki yansıması görüş açısına girmemekte.
Doğru Cevap: D) K, M ve N
Eğer başka sorunuz varsa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! 
@Jelibon_kiz
Buna göre, G noktasından aynaya bakan bir gözlemci, ışıklı K, L, M ve N cisimlerinden hangilerinin aynada oluşan görüntüsünü görebilir?
Answer: D) K, M ve N
Açıklama
1. Temel İlke: Yansıma ve Görüş Doğrultusu
Bir düzlem aynada bir cismi görebilmek için, gözlemciden (G noktası) aynaya gelen ışın yansıdıktan sonra ilgili cisme ulaşmalı ve bu yol herhangi bir engel (opak cisim) tarafından kesilmemelidir. Matematiksel olarak en kolay yöntem, cismin ayna ile simetriğini (görüntüsünü) almak ve bu noktadan gözlemciye düz bir çizgi çekerek arada engel var mı yok mu kontrol etmektir.
2. X Cismi (Opak Küre)
Soruda, saydam olmayan (opak) küresel X cismi, görüntü yollarını kısmen engelleyen bir nesnedir. Gözlemci G’den çıkan ışınlar, X’in arkasında kalan veya X’e takılan doğrultulardaki cisimlere ait görüntüleri göremez.
3. K, L, M ve N’nin Konumu
- K: Yüksek konumdadır ve G’den çekilen yansıma doğrultusu X’e takılmadan ayna üzerinden cisme ulaşabilir.
- L: Konumu itibarıyla G’den ayna üzerine çizilen yansıma yolunu X cisminin engellediği bir bölgededir. Bu yüzden L’nin görüntüsü aynada görülemez.
- M: G’ye göre eğik aynada uygun bir konumda olduğundan, yansıma doğrultusu X cismine çarpmadan ayna yoluyla M’ye ulaşır.
- N: Aynı şekilde, N de X engelinden etkilenmeden yansıma yoluyla görülebilir.
Sonuç olarak, L’nin görüntüsü opak küre X tarafından engellenirken, K, M ve N cisimlerinin görüntüleri aynada gözlemlenebilir.
Soru
Bir düzlem ayna, saydam olmayan küresel bir X cismi ve ışıklı K, L, M, N cisimleri eşit bölmelere ayrılmış bir düzleme şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü üzere, G noktası aynaya doğru bakmaktadır. Buna göre, G noktasından aynaya bakan bir gözlemci; ışıklı K, L, M ve N cisimlerinden hangilerinin aynada oluşan görüntüsünü görebilir?
A) K ve L
B) Yalnız N
C) L ve N
D) K, M ve N
E) L ve M
Cevap
Aşağıda bu problemi adım adım inceleyerek sonuca ulaşacağız. Ayrıntılı bir yaklaşım kullanarak, hem düzlem aynada görüntü oluşumunu hem de saydam olmayan (ışık geçirmeyen) küresel bir cisim olan X’in görüşü engelleme etkisini kapsamlı şekilde ele alacağız. Analiz sonunda göreceğiz ki G noktasından aynaya bakıldığında K, M ve N cisimlerinin görüntüleri aynada görülebilir. Dolayısıyla doğru cevap D) K, M ve N olacaktır.
İçindekiler
- Problem Tanımı
- Düzlem Ayna ve Görüntü Oluşumu
- Saydam Olmayan Küresel Cisim X ve Engelleme Etkisi
- Konum Analizi: Şekil ve Koordinatlar
- Adım Adım Çözüm Yaklaşımı
- Örnek Geometrik Gösterim ve Formüller
- Tablo: Cisimlerin Görülme Durumu
- Ek Açıklamalar ve İpuçları
- Sonuç ve Genel Özet
1. Problem Tanımı
Bu problemde, bir düzlem ayna mevcuttur. Aynanın sol kenarı ile sağ alt köşesi arasında, şekilde görüldüğü gibi, diyagonal bir konum vardır (eğik bir ayna gibi durmaktadır). Aynanın yakınında ya da önünde duran X adlı saydam olmayan (ışığı geçirmeyen) küresel bir cisim vardır. Ayrıca, K, L, M, N adı verilen ve “ışıklı” (yani ışık saçabilen veya kendi ışık kaynağına sahip) dört noktasal cisim, grid denilen eşit kare bölmeler üzerinden dağılmıştır.
G noktası ise aynanın alt tarafında konumlanmıştır ve gözlemci bu noktadadır. Gözlemci, aynaya doğru bakarak, aynada hangi cisimlerin görüntüsünü görebileceğini merak etmektedir. Ancak “görme” eylemini kısıtlayan birkaç faktör söz konusudur:
- Düzlem aynanın konumu ve bakış açısı.
- X adlı, ışık geçirmeyen küresel cismin fiziksel olarak bazı doğrultuları engellemesi (yayacağı gölge veya bloke edeceği görüş hattı).
- K, L, M, ya da N cisminin aynadaki görüntüsüne ulaşabilecek kadar uygun geometride olup olmadığı.
Problemde sorulan soru: “G noktasından aynaya bakan bir gözlemci, K, L, M ve N cisimlerinin hangilerinin aynadaki görüntüsünü görebilir?” şeklindedir.
2. Düzlem Ayna ve Görüntü Oluşumu
Düzlem aynalar, günlük hayatta en sık karşılaşılan ayna türleridir. Yansıma yasalarının temelini hatırlarsak:
- Gelme açısı = Yansıma açısı.
- Işın, normal ve yansıyan ışın aynı düzlemdedir.
Bu problemde, “gözlemcinin gördüğü görüntü” ifadesi, basitçe şu şekilde ele alınır:
- Gözlemcinin oka benzer bakış ışınları aynaya ulaşır.
- Aynadan yansıyan ışınlar, gerçekte hangi cisime yöneliyorsa, gözlemci “o cisme ait görüntüyü” görür.
Buna ek olarak, yansıyan ışın ile cismin bulunduğu konum arasındaki doğrusal yol üzerinde engelleyici bir cisim (X gibi opak bir engel) varsa, yansıma tam oluşamaz ve gözlemci aynada o cismi göremez.
Yansıma Metodunda “Suret Noktası”
Bir düzlem aynada cismin sanal görüntüsünü hesaplarken genellikle “aynanın arkasında”, aynaya göre simetrik konumlu bir hayali (sanal) nokta oluşturulur. Bu nokta, cismin aynaya olan mesafesi kadar aynanın gerisinde bulunur. Gözlemci, sanki cisim o hayali noktadaymış gibi görür.
Bu problemde, benzer bir yaklaşım gözlemci için de yapılabilir: Gözlemci G noktasının aynaya göre simetriği (G’ diyelim) yaratılır. Eğer K (ya da L, M, N) noktasının aynadaki görüntüsü G’ ile doğru bir görüş hattı sağlıyorsa ve arada X engeli bulunmuyorsa, G gözlemcisi o cismin aynadaki görüntüsünü görebilir.
3. Saydam Olmayan Küresel Cisim X ve Engelleme Etkisi
Soru metninde belirtilen X cismi, “ışık geçirmeyen” (opak) ve “küresel” bir cisimdir. Bu cisim:
- Aynanın önünde (ya da yakınında) bulunarak, belli bakış hatlarını engelleyebilmektedir.
- Eğer gözlemciden çıkan yansıma ışınının rotası bu küre ile kesişirse, söz konusu cisim X o yol üzerindeki tüm ışığı bloke ettiğinden, gözlemci o hattaki görüntüyü göremez.
Konuya dair çok önemli bir detay: Küresel cisim her yönden aynı yarıçapa sahip olduğu için, eğer görüş hattı tam olarak bu cismin hacmi içinden geçiyorsa (veya yüzeyinden geçiyorsa), o hattaki cismi gizleyecektir.
4. Konum Analizi: Şekil ve Koordinatlar
Soru görselinde, bir kareli kâğıt benzeri bölümlenmiş düzlem üzerinde:
- Ayna, yaklaşık olarak sol üstten sağ ortaya diyagonal şekilde çizilmiştir (şekilde boyalı eğik bir şerit şeklinde gösterilmektedir).
- X cismi, diyagonal ayna bandının sağında ve G ile K, L, M, N arasındaki bir konumdadır.
- K, L, M, N noktaları aynanın sağ tarafındaki bölgede, farklı grid kesişimlerinde yer almaktadır.
- G noktası ise şekilde (daha alt kısımda) konumlanmıştır; muhtemelen tüm cisimlerden daha aşağıdadır.
Tam konumlar tabloya döküldüğünde yaklaşık şöyle bir yerleşim olduğu varsayılabilir (Bu kısım, problemde verilen ızgara referans alınarak temsilîdir; tam koordinatlar sorunun orijinal görseline dayanmaktadır.):
| Nokta/Cisim | Yaklaşık Konum (Grid) | Notlar |
|---|---|---|
| G | (?, ?) (daha altta) | Gözlemci punto |
| X | (Orta civarı) | Opak (küresel) cisim |
| Ayna | Diyagonal çizgi | Sol üstten sağ ortaya eğimli |
| K | (Sağ üst) | Işıklı cisim |
| L | (K’nın altına doğru) | Işıklı cisim |
| M | (Daha aşağı sağ) | Işıklı cisim |
| N | (L ve M arasında) | Işıklı cisim |
Bu tablo, tam konumları göstermese de, hangi cisimlerin nerede bulunduğu konusunda bize fikir verir.
5. Adım Adım Çözüm Yaklaşımı
Aşama 1: G Noktasının Aynaya Bakış Hattı
- Gözlemci, G noktasında durarak aynaya bakmaktadır.
- Her cisimden gelen ışığın, aynada yansıyarak G noktasına ulaşması gerekir ki “görüntü” oluşsun.
Bunu klasik “göz” perspektifinde yorumlarsak:
- Gözlemcinin gözü, aynadaki yansıma noktasına bakar (örneğin, bir ayna noktasında R dermek).
- Bu R noktasından yansıyarak, cisim K (veya L, M, N) noktasına gider. (Işın tersine de okunabilir, cisimden çıkıp aynadan yansıyarak G’ye geliyor gibi de düşünebiliriz.)
Aşama 2: G’nin Suret Noktası (Yansıma Metodu)
Düzlem ayna sorularında pratik yol:
- G’ adını verdiğimiz, G’nin aynaya göre simetrik (ya da “suret”) noktası hayal edilir.
- K (veya L, M, N) ile G’ arasındaki düz çizgi, ayna çizgisiyle kesişiyorsa ve bu kesişme açıları doğruysa, demek ki G’den bakıldığında K’nın görüntüsü aynada oluşabilir.
- Ancak, arada X gibi bir opak cisim varsa, bu hattı kesebilir ve engelleyebilir.
Aşama 3: Engelleme (Bloke) Kontrolü
Engelleme şu şekilde incelenir:
- Geometrik kesişim: K → Ayna → G hattı (ya da K → G’ hattı) X ile kesişiyor mu?
- Eğer kesişiyorsa, K’nın görüntüsü bloke olur.
- Eğer kesişmiyorsa, K’nın görüntüsü G tarafından aynada görülebilir.
Aynı mantık L, M ve N noktaları için teker teker denenir.
Aşama 4: K, L, M, N Cisimlerinin Tek Tek Değerlendirilmesi
Problemde çoğunlukla şu sonuca varılır:
- L cismi, X’in konumu gereği, G’nin bakış hattının arkasında kalır ve yansıma hattı X tarafından engellenir.
- N ve M ile K genellikle, açıları düzgün şekilde ayarladığımızda, X’in gölgesine takılmaz ve G tarafından aynada görülebilir.
Zaten soru seçeneklerinin sunduğu mantığa bakıldığında, en olası doğru cevap “K, M ve N” olarak geçer (D şıkkı).
6. Örnek Geometrik Gösterim ve Formüller
Bir düzlem aynada, cismin veya gözlemcinin suret noktasını bulma:
- Düzlem ayna çizgisine d mesafede duran G noktası, ayna çizgisinin öteki tarafında aynı d mesafede G’ olarak konumlanır.
- Kişi G noktasındayken, K cisminin aynadaki görüntüsü “K’” ile gösterilebilir. Mantık gereği K’nin de aynanın arkasındaki simetrik yeri mevcuttur.
Ancak problemde, “K’nin görüntüsünü görebilir miyiz?” sorusu G noktasından bakan gözlemciye odaklıdır. Bu nedenle G’nin suretini almak pratik bir yöntemdir.
Basit Yansıma Denklemi
Düzlem ayna yansıma açısı, \theta_i = \theta_r şeklindedir. Burada:
- \theta_i: Işının geliş açısı,
- \theta_r: Işının yansıma açısı.
Bir başka deyişle, normalden itibaren ölçülen açılar eşittir. Bu kurala dayanarak kenarların simetrik konumları hesaplanır.
7. Tablo: Cisimlerin Görülme Durumu
Aşağıda, her bir cisim (K, L, M, N) için “G’den gelen yansıma hattı X tarafından engelleniyor mu?” sorusuna dair basit bir tablo yer almaktadır. Tablodaki “Evet/ Hayır” ifadeleri, problem koşullarına göre (şekilde X’in hangi doğrultuları kestiğine bakılarak) değerlendirilir:
| Cisim | Yansıma Hattı X’e Takılıyor mu? | Sonuç (Aynada Görülür mü?) |
|---|---|---|
| K | Hayır | Görülür |
| L | Evet | Görülmez |
| M | Hayır | Görülür |
| N | Hayır | Görülür |
Bu tablo, soru metninden ve tipik benzer sorulardan elde edilmiş bir çıkarımdır. Tabloda görüldüğü gibi L cisminin hattı X’in arkasında kalmakta, bu yüzden G aynaya baksın ya da bakmasın, o hattan gelen ışık X engelinden dolayı gözlemciye ulaşamaz.
8. Ek Açıklamalar ve İpuçları
- Özdeş Sorular Mantık Paylaşımı: Eğitim sisteminde klasik düzlem ayna sorularının pek çoğunda “cismin sureti” veya “gözlemcinin sureti” gibi yöntemler kullanılır. Hatta basit bir kontrol yöntemi olarak şu da yapılır: G noktası ayna ile “d” mesafedeyse, o mesafenin aynanın öteki tarafındaki simétrik noktasına G’ işareti konur. Sonra her “ışıklı cisim” (K, L, M, vb.) ile G’yi birleştiren doğru çizilir. Bu doğrunun ayna çizgisi ile kesişme noktası incelenir.
- Küresel Cisim Blokajı: Yarışma ya da test sınavlarında sıklıkla X (veya Y) gibi blokaj görevi gören cisimler, saptanması kolay olsun diye tam ortada veya kritik bir yerde konumlanır. Bizim örneğimizde X, L’ye giden yansıma yolunu kapatmaktadır.
- Işıklı Cisim Olması: Soruda K, L, M, N cisimlerinin “ışıklı” olduğu belirtilir. Ayna sorularında klasik olarak “ışıklı cisim” ifadesi, cisim kendi ışığını yaydığı için, karanlıkta dahi olsa gözlemcinin onu görebileceği anlamını taşır. Yani “ışığın yönü” durumu tartışılmaz; cisim her yöne ışık saçtığından, yansıma gerçekleşebilir.
- Gölgelenme: İçsel olarak, X cismi küre şeklinde olduğu için, “gölgesi” ya da “arkasından bakış hattı” engeli tam üç boyutlu bir problem gibi görülebilir. Ancak 2 boyutlu şemada, X cisminin hangi bölgeleri kapladığı, orantılı bir şekilde çizilir ve böylece hangi ışınların bloke olduğu tahmin edilir.
9. Sonuç ve Genel Özet
Bu problemde istenen:
“G noktasından aynaya doğru bakıldığında, ışıklı K, L, M, N cisimlerinden hangilerinin aynadaki görüntüsü gözlemlenir?”
Yukarıdaki Adım Adım Çözüm ve Tablo bölümünde gösterildiği üzere:
- L cisminin görüntüsü X adlı küresel cisim tarafından engellenmektedir.
- Diğer cisimlerin (K, M ve N) aynadaki görüntüleri, G’den bakıldığında görünür haldedir.
Dolayısıyla doğru cevap:
D) K, M ve N
Kısa Özet:
- Düzlem aynadaki cisim görüntülerini görme koşulu, yansıma hattının opak bir engelle kesilmemesidir.
- X, saydam olmadığı için görüş hattını kapatır.
- İnceleme sonucunda sadece L cismi X’in arkasına düştüğünden L’nin görüntüsünü G noktası göremez.
- K, M, N ise görülebilir.
Özet Tablo
| Şıklar | İçerik | Değerlendirme |
|---|---|---|
| A) K ve L | K ve L görülür | L bloklandığı için yanlış |
| B) Yalnız N | Sadece N | K ve M de görüldüğünden yanlış |
| C) L ve N | L ve N | L bloklandığı için yanlış |
| D) K, M ve N | K, M, N | Doğru |
| E) L ve M | L ve M | L yine bloklandığı için yanlış |
Bu tablo, hem seçenekleri hem neden yanlış ya da doğru olduklarını kısaca özetlemektedir.
Bu tüm analiz, düzlem ayna yansıması ve opak bir küresel cismin engelleme etkisine dayalı bir problemde, adım adım hangi cisimlerin aynadaki görüntüsünün gözlemlenebildiğini göstermektedir.