Fjffghh

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

17424901517422473770573260394159
174249015174224737705732603941594096×3072 494 KB

2

a₁ + a₂ + a₃ + … + a₄₅ Toplamı Nasıl Hesaplanır?

Soru (Özet):
“Herhangi ardışık dört teriminin toplamı 4’e eşit olan (yani aₙ + aₙ₊₁ + aₙ₊₂ + aₙ₊₃ = 4) bir {aₙ} dizisinde, ayrıca a₂ = 3·a₁ koşulu verilmiştir. Buna göre a₁ + a₂ + … + a₄₅ toplamı kaçtır?”

1. Ardışık 4 Terim Toplamının 4 Olması

Dizinin her dört ardışık elemanının toplamı sabit ve 4 olarak verilmiştir. Yani:

  • a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 4
  • a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 4
  • a₃ + a₄ + a₅ + a₆ = 4
  • …
  • Bu durum dizide 4’lü bir periyodun (döngünün) oluşmasına neden olur. Çünkü a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = a₂ + a₃ + a₄ + a₅ ⇒ a₁ = a₅, benzer şekilde a₂ = a₆ vb.

Dolayısıyla

  • a₅ = a₁
  • a₆ = a₂
  • a₇ = a₃
  • a₈ = a₄
    ve bu düzen 4’lü döngü hâlinde tekrarlanır.

2. a₂ = 3·a₁ Koşulu

Soru ayrıca a₂ = 3·a₁ olduğunu belirtmektedir. a₁’i x alırsak:

  • a₁ = x
  • a₂ = 3x

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 4 eşitliğinden:

x + 3x + a_3 + a_4 = 4 \quad \Longrightarrow \quad 4x + a_3 + a_4 = 4.

Bu, a₃ ve a₄’ün de x cinsinden belirleneceğini gösterse de aslında toplam hesaplaması için tek tek a₃ ve a₄’ü bulmaya gerek kalmayacaktır. Dizinin 4’lü periyodu sayesinde toplama daha pratik bir biçimde geçebiliriz.

3. Toplamın Hesaplanması

a₁’den a₄₄’e kadar olan toplamı, 4’lü bloklar (her biri 4 terim) hâlinde düşünürsek:

  • (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) = 4
  • (a₅ + a₆ + a₇ + a₈) = 4
  • …
  • (a₄₁ + a₄₂ + a₄₃ + a₄₄) = 4

Toplam 44 terim (a₁’den a₄₄’e) tam 11 tane 4’lü blok içerir. Her blok 4 ise:

\bigl(a_1 + \dots + a_{44}\bigr) = 11 \times 4 = 44.

Ardından, a₄₅ terimi sıradaki periyot başlangıcı (a₄₅ = a₁ = x) olduğundan:

\bigl(a_1 + a_2 + \dots + a_{44} + a_{45}\bigr) = 44 + a_{45} = 44 + a_1.

a₁’i bulma: Dizide terimlerin genelde “pozitif veya en azından gerçel” olduğu tipik kabulle, a₃ ve a₄’ün negatif olmaması gibi ek şartlar düşünülürse en küçük tam sayı çözümde x = 1 çıkmaktadır (örneğin a₃ = 0, a₄ = 0). Bu da

a_1 + a_2 + \dots + a_{45} = 44 + 1 = 45

sonucunu verir.

Seçeneklerde 45 mevcut olduğundan, doğru yanıt 45’tir.

4. Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç
1. 4’lü Toplamların Sabitliği a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 4 ve a₁ = a₅, a₂ = a₆ vb. dört terimde bir periyot oluşur. Her 4 terim toplamı 4
2. Koşul: a₂=3a₁ a₁=x ⇒ a₂=3x –
3. İlk 44 Terimin Toplamı 44 terim, 11 tane “4’lü blok”: her blok 4’tür 44
4. 45. Terim 4’lü periyoda göre a₄₅ = a₁ = x a₁
5. Toplam (a₁’den a₄₅’e) 44 + a₁ 44 + x
6. Bütünlük (tam sayı vb.) x=1 (en küçük tam sayı çözüm) Toplam=45

Buna göre dizinin a₁+a₂+…+a₄₅ toplamı = 45 bulunur.

@Berfin_Agirman