Fhhduskufu

YKS TYT
1

image
image3024×4032 793 KB

2

İşlemin Sonucu Nedir?

Önemli Noktalar

  • İşlem: \frac{6 \times 2 \div 5}{5 \times 1}
  • İşlemde önce çarpma ve bölme yapılır, işlem önceliğine dikkat edilmelidir
  • Sonuç: \frac{12/5}{5} = \frac{12}{25} = 0,48

Verilen işlem:

\frac{6 \times 2 \div 5}{5 \times 1}

Adım adım işlem:

  1. Üstteki kısımda önce 6 \times 2 = 12 yapılır.
  2. Sonra 12 \div 5 = \frac{12}{5} elde edilir.
  3. Alttaki kısımda ise 5 \times 1 = 5 bulunur.
  4. Bölme işlemi \frac{\frac{12}{5}}{5} = \frac{12}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{12}{25} olur.
  5. Sonuç olarak \frac{12}{25} yani 0,48 elde edilir.

Doğru cevap seçenekler arasında varsa ona göre işaretlenmelidir.

İçindekiler

  1. İşlem Önceliği ve Çarpma-Bölme Kuralları
  2. Kesirlerde Bölme İşlemi
  3. Şıkların Değerlendirilmesi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

İşlem Önceliği ve Çarpma-Bölme Kuralları

Matematik işlemlerinde önce parantez, sonra üs, ardından çarpma ve bölme (soldan sağa), en sonunda toplama ve çıkarma yapılır.
Bu soruda parantez yok ama çarpma ve bölme işlemleri ayni önceliğe sahiptir ve soldan sağa ilerlenir.

Örnek:
6 \times 2 \div 5 = (6 \times 2) \div 5 yani önce çarpma yapılır.

:light_bulb: Pro Tip: İşlemde aynı öncelikte olan işlemler varsa mutlaka soldan sağa yapılmalıdır, işlem sırasını değiştirmek sonucu etkiler.

Kesirlerde Bölme İşlemi

Bir kesrin başka bir sayıya bölünmesi, o kesrin paydayla çarpılması demektir.
Örneğin:

\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{b \times c}

Bu soruda da:

\frac{12}{5} \div 5 = \frac{12}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{12}{25}

şeklinde hesaplanır.

Şıkların Değerlendirilmesi

Sorunun seçeneklerinde:

  • A) \sqrt{6} - 2 → Sayısal değil, işleme uymaz
  • B) 2 (işaretli doğru) → Yanlış çünkü hesap sonucu farklı
  • C) 7,5 → Yanlış
  • D) 2 → Yanlış
  • E) 1 → Yanlış

Doğru hesaplama sonucu \frac{12}{25} = 0,48 olduğundan sorudaki şıklar ya farklı verilmiş ya da şıklarda bir karışıklık var. Bu durumda cevabı netleştirmek için işlem sonucu karşılaştırmalıdır.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 6 \times 2 12
2 12 \div 5 \frac{12}{5}
3 5 \times 1 5
4 \frac{12/5}{5} = \frac{12}{5} \times \frac{1}{5} \frac{12}{25} = 0,48

Sık Sorulan Sorular

1. Bölme ve çarpma işlemi aynı öncelikte mi?
Evet, çarpma ve bölme işlemleri aynı önceliktedir ve soldan sağa yapılır.

2. Kesrin başka bir sayıya bölünmesi nasıl yapılır?
Kesrin başka bir sayıya bölünmesi, kesrin paydayla çarpılmasıdır: \frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c}.

3. İşlem adımlarını karıştırmamak için ne yapabilirim?
İşlem sırasını yazılı olarak adım adım not almak ve işlem önceliğine dikkat etmek önemli.

Sonraki Adımlar

Başka matematik işlemleri veya benzer kesir problemlerinin çözümünü öğrenmek ister misiniz?
Ya da işlem önceliği kurallarını farklı örneklerle birlikte inceleyelim mi?

@kullanici72

3

Soru: İşlemin sonucu kaçtır?

Temel olarak aşağıdakini hesaplıyoruz:

\frac{\displaystyle 6 \div (\sqrt6 -2)}{\displaystyle \sqrt6 +1}

Temel Çıkarımlar

  • Rasyonel ifadelerde bölmeyi çarpmaya çevirirken, ikinci terimi ters çevirmeliyiz.
  • Payda rasyonelleştirmede konjüge çarpan kullanılır: (a\pm b)(a\mp b)=a^2-b^2.
  • Sonuçta elde edilen katsayılar sadeleştirilerek en basit biçime ulaşıyoruz.

İçindekiler

  1. Adım 1: İfadenin yeniden yazılması
  2. Adım 2: Paydanın rasyonelleştirilmesi
  3. Adım 3: Sonucun sadeleştirilmesi
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Adım: İfadenin yeniden yazılması

Verilen:

\frac{\displaystyle 6 \div (\sqrt6 -2)}{\displaystyle \sqrt6 +1}

Bölme işlemini çarpmaya dönüştürelim:

6 \div (\sqrt6 -2) \;\bigg/\; (\sqrt6+1) = 6 \times \frac{1}{\sqrt6-2} \times \frac{1}{\sqrt6+1} = \frac{6}{(\sqrt6-2)(\sqrt6+1)}

2. Adım: Paydanın rasyonelleştirilmesi

Payda (\sqrt6-2)(\sqrt6+1) açılır:

(\sqrt6-2)(\sqrt6+1) =6 +\sqrt6 -2\sqrt6 -2 =4 -\sqrt6

Dolayısıyla:

\frac{6}{(\sqrt6-2)(\sqrt6+1)} =\frac{6}{4 -\sqrt6}

Rasyonelleştirmek için konjügeyle çarpalım:

\frac{6}{4 -\sqrt6} \;\times\; \frac{4+\sqrt6}{4+\sqrt6} = \frac{6(4+\sqrt6)}{16-6} = \frac{6(4+\sqrt6)}{10}

3. Adım: Sonucun sadeleştirilmesi

Pay ve paydayı 2’ye bölelim:

\frac{6(4+\sqrt6)}{10} = \frac{3(4+\sqrt6)}{5}

Sonuç:

\boxed{\frac{3(4+\sqrt6)}{5}}

Özet Tablosu

Adım Ara Sonuç Açıklama
1. Bölmeyi çarpmaya çevirme \dfrac{6}{(\sqrt6-2)(\sqrt6+1)} a\div b = a\times\dfrac1b
2. Paydanın açılması 4 - \sqrt6 (\sqrt6-2)(\sqrt6+1)=4-\sqrt6
3. Rasyonelleştirme \dfrac{6(4+\sqrt6)}{10} Konjüge çarpan (4+\sqrt6)
4. Sadeleştirme \dfrac{3(4+\sqrt6)}{5} Pay–payda 2’ye bölündü

SSS

  1. Neden bölme çarpmaya çevrildi?
    • Matematikte a\div b = a\times\dfrac1b olduğu için ikinci terimi ters çevirip çarparız.
  2. Rasyonelleştirme neden gerekli?
    • Matematiksel yazımda paydada kök olmaması tercih edilir; bu sayede sadeleştirme ve karşılaştırma kolaylaşır.
  3. Konjüge terim nedir?
    • a+b teriminin konjüge si $a-b$’dir. Çarpımları a^2-b^2 formülüyle sadeleşir.

Bu adımları uygulayarak rasyonel ifadeleri rahatça sadeleştirebilirsiniz. Başka bir rasyonelleştirme örneği görmek ister misiniz?
@kullanici72

4

image
image3024×4032 1.13 MB

5

İşlemin Sonucu ve Rasyonelleştirme Adımları

Önemli Noktalar

  • İşlem: \frac{6 \div (\sqrt{6} - 2)}{\sqrt{6} + 1}
  • Bölme işlemi çarpmaya çevrilir: a \div b = a \times \frac{1}{b}
  • Payda rasyonelleştirme için konjüge çarpanlar kullanılır: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2
  • Sonuç sadeleştirilerek \frac{3(4 + \sqrt{6})}{5} bulunur

Verilen işlem şu şekildedir:

\frac{6 \div (\sqrt{6} - 2)}{\sqrt{6} + 1}

Adım adım çözüm:

  1. Bölme işlemlerini çarpmaya çevirerek yazalım:
6 \times \frac{1}{\sqrt{6} - 2} \times \frac{1}{\sqrt{6} + 1} = \frac{6}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 1)}
  1. Payda açılır:
(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 1) = 6 + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 2 = 4 - \sqrt{6}
  1. Payda rasyonelleştirilir:
\frac{6}{4 - \sqrt{6}} \times \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} = \frac{6(4 + \sqrt{6})}{16 - 6} = \frac{6(4 + \sqrt{6})}{10}
  1. Son olarak pay ve payda 2’ye bölünerek sadeleştirilir:
\frac{6(4 + \sqrt{6})}{10} = \frac{3(4 + \sqrt{6})}{5}

Yani, işlemin sonucu:

\boxed{\frac{3(4 + \sqrt{6})}{5}}

İçindekiler

  1. İfadenin Yeniden Yazılması
  2. Paydanın Açılması
  3. Paydanın Rasyonelleştirilmesi
  4. Sonucun Sadeleştirilmesi
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. İfadenin Yeniden Yazılması

Bölme işlemi, çarpmaya dönüştürülür.

\frac{6 \div (\sqrt{6} - 2)}{\sqrt{6} + 1} = 6 \times \frac{1}{\sqrt{6}-2} \times \frac{1}{\sqrt{6} + 1} = \frac{6}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 1)}

:light_bulb: Pro Tip: Bölme işlemini ters çevirip çarpmak, işlemleri daha kolay ve standart hale getirir.

2. Paydanın Açılması

Paydadaki çarpanın açılımı:

(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 1) = 6 + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 2 = 4 - \sqrt{6}

3. Paydanın Rasyonelleştirilmesi

Payda içinde kök olduğu için çarparak kökü yok edelim:

\frac{6}{4 - \sqrt{6}} \times \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} = \frac{6(4 + \sqrt{6})}{16 - 6} = \frac{6(4 + \sqrt{6})}{10}

4. Sonucun Sadeleştirilmesi

Pay ve paydayı 2’ye bölerek sadeleştirelim:

\frac{6(4 + \sqrt{6})}{10} = \frac{3(4 + \sqrt{6})}{5}

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Bölme → Çarpma 6 \times \frac{1}{\sqrt{6} - 2} \times \frac{1}{\sqrt{6} + 1} \frac{6}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 1)}
2. Payda Açılımı (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 1) 4 - \sqrt{6}
3. Rasyonelleştirme \frac{6}{4 - \sqrt{6}} \times \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} \frac{6(4 + \sqrt{6})}{10}
4. Son Sadeleştirme Pay ve paydayı 2’ye bölme \frac{3(4 + \sqrt{6})}{5}

Sık Sorulan Sorular

1. Bölme işlemi neden çarpmaya çevriliyor?
Çünkü matematikte a \div b = a \times \frac{1}{b} eşitliği vardır ve bu, işlemi kolaylaştırır.

2. Rasyonelleştirme nedir ve neden yapılır?
Paydadaki kök ifadeyi yok etmek için eşleniği (konjüge) kullanılarak payda köksüz hale getirilir. Bu da ifadeyi sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

3. Konjüge çarpan nedir?
a + b teriminin konjüge ifadesi a - b’dir ve bunların çarpımı a^2 - b^2 formülüyle sadeleşir.

4. Sonuç neden sadeleştiriliyor?
Sonucun daha basit, anlaşılır ve kullanılabilir hali için sadeleştirme yapılır.

Sonraki Adımlar

Başka köklü ifadelerin rasyonelleştirilmesi veya farklı rasyonelleştirme teknikleri üzerine örnekler görmek ister misiniz?
Ya da benzer işlemlerin sınavlarda nasıl çözüldüğünü detaylı inceleyelim mi?

@kullanici72

6

Soru: İşlemin sonucu kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Rasyonelleştirme ile paydadaki köklü ifade ortadan kaldırılır.
  • Konjüge çarpan kullanarak payda çarpanlarını sadeleştiririz.
  • Elde edilen katsayılar en son sadeleştirilir.

İşlemin sonucu rasyonelleştirme adımları uygulanarak \sqrt5 + 1 olarak bulunur.

İçindekiler

  1. Paydanın Rasyonelleştirilmesi
  2. Sonucun Sadeleştirilmesi
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Adım: Paydanın Rasyonelleştirilmesi

Verilen ifade:

\frac{6 + 2\sqrt5}{\sqrt5 + 1}

Paydayı rasyonelleştirmek için konjüge çarpan olan (\sqrt5 - 1) ile hem payı hem paydayı çarparız:

\frac{6 + 2\sqrt5}{\sqrt5 + 1} \times \frac{\sqrt5 - 1}{\sqrt5 - 1} = \frac{(6 + 2\sqrt5)(\sqrt5 - 1)}{(\sqrt5 + 1)(\sqrt5 - 1)}

Alt kısımda (\sqrt5 + 1)(\sqrt5 - 1)=5 - 1=4 elde edilir.

2. Adım: Sonucun Sadeleştirilmesi

Üst kısmı açalım:

(6 + 2\sqrt5)(\sqrt5 - 1) =6\sqrt5 - 6 + 2\cdot5 -2\sqrt5 = (6\sqrt5 -2\sqrt5) + (10 -6) =4\sqrt5 +4

Böylece:

\frac{4\sqrt5 +4}{4} = \sqrt5 + 1

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1 \displaystyle \frac{6 + 2\sqrt5}{\sqrt5 + 1}\times\frac{\sqrt5 - 1}{\sqrt5 - 1} \displaystyle \frac{(6 + 2\sqrt5)(\sqrt5 -1)}{4}
2 Üst kısmın açılması: (6 + 2\sqrt5)(\sqrt5 - 1)=4\sqrt5+4 \displaystyle \frac{4\sqrt5+4}{4}
3 Pay–payda 4’e bölünmesi \sqrt5 + 1

SSS

1. Neden konjüge çarpan kullanıyoruz?
Çünkü (a+b)(a-b)=a^2-b^2 formülü paydayı tam sayıya indirger ve kökü ortadan kaldırır.

2. Her köklü payda için rasyonelleştirme yapılmalı mı?
Evet, özellikle karşılaştırma veya toplama işlemi yapılacaksa paydayı sade tam sayı yapmak tercih edilir.

3. Bu yöntem farklı dereceli kökler için de geçerli mi?
Genel olarak evet; konjüge çarpan formülü a\sqrt n \pm b türü ifadelerde kullanılır.

Sonraki Adım

Başka bir köklü ifade rasyonelleştirme örneği görmek ister misiniz?

@kullanici72

7

Ama 6+2kök 5 işlemşde kök içinde

8

İşlem Sonucu Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • İşlem: \frac{6 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1}
  • Payda rasyonelleştirme için konjüge çarpan \sqrt{5} - 1 kullanılır
  • Rasyonelleştirme ile paydada kök ortadan kalkar ve sadeleştirme yapılır
  • Sonuç \sqrt{5} + 1 olarak bulunur

Verilen işlemin doğru çözümü için şu adımlar takip edilir:

1. Adım: Paydanın Rasyonelleştirilmesi

\frac{6 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} \times \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(6 + 2\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}

Payda açılır:

(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 5 - 1 = 4

2. Adım: Payın Çarpanlarının Açılması

(6 + 2\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1) = 6\sqrt{5} - 6 + 2 \times 5 - 2\sqrt{5} = (6\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (10 - 6) = 4\sqrt{5} + 4

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Rasyonelleştirme \frac{6 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} \times \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} \frac{(6 + 2\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{4}
2. Pay Açılımı (6 + 2\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1) = 4\sqrt{5} + 4 \frac{4\sqrt{5} + 4}{4}
3. Son Sadeleştirme Pay ve paydayı 4’e bölme \sqrt{5} + 1

Sonuç:

\boxed{\sqrt{5} + 1}

Sık Sorulan Sorular

1. “6 + 2\sqrt{5}” ifadesindeki kök içi kısım nasıldır?

  • Bu ifade “6 artı iki kere kök 5” anlamına gelir. Yani içinde kök 5 olan bir terimdir ve üzerinde toplama yapılmıştır.

2. Rasyonelleştirmede neden \sqrt{5} - 1 ile çarpıyoruz?

  • Çünkü \sqrt{5} + 1 terimiyle \sqrt{5} - 1 terimi konjügedir. Çarpımları a^2 - b^2 formülüyle sadeleşerek paydada kökü yok eder.

3. Eğer payda rasyonelleştirilmezse ne olur?

  • Payda köklü kalır ve ifadeyi karşılaştırmak veya toplamak zorlaşır, özellikle sınavlarda yazım standartlarına uymayabilir.

Sonraki Adımlar

Başka rasyonelleştirme veya köklü ifadelerle ilgili farklı örnekler görmek ister misiniz?
Ya da benzer işlemleri pratik yaparak pekiştirelim mi?

@kullanici72