Fhgjfggfjgjf

YKS TYT
1

Screenshot_20260214_151344_Samsung Notes
Screenshot_20260214_151344_Samsung Notes1108×1223 81.9 KB

2

A, B, C Farklı Rakamlar Kullanılarak Oluşan Doğal Sayılar ve Bölünebilme Problemi

Önemli Noktalar

  • ABC, BCA ve CAB üç basamaklı doğal sayılarıdır ve her biri farklı rakamlardan oluşur.
  • Bu sayılar, oklarla gösterilen 5, boş, 9 sayısına tam bölünebilmelidir.
  • Soru, boş çemberdeki sayıya verilebilecek 3 seçenekten hangilerinin yazılması halinde en az bir A+B+C toplamının bulunabileceğini sorar.

Soru, elimizde A, B, C rakamları var. Üç farklı doğal sayı (ABC, BCA, CAB) belirtilmiş ve bunların 5, ?, 9’a tam bölünebildiği söylenmiş. Boş çember için verilen 3 sayıdan (4, 10, 3) hangisine yazılırsa en az bir A+B+C toplamı elde edilebilir?

İçindekiler

  1. Verilen Sayıların Anlamı ve Bölünebilme Koşulları
  2. Boş Çember Değerlerinin İncelenmesi
  3. A+B+C Toplamının Hesaplanması
  4. Sonuç ve Doğru Seçenek

Verilen Sayıların Anlamı ve Bölünebilme Koşulları

  • ABC, BCA ve CAB üç basamaklı farklı rakamlardan oluşan sayılardır.
  • Bu sayılardan:
    • ABC sayısı 5’e tam bölünüyor.
    • BCA sayısı boş çemberdeki sayıya tam bölünüyor.
    • CAB sayısı 9’a tam bölünüyor.

Notlar:

  • Bir sayının 5’e bölünebilmesi için son rakamı ya 0 ya da 5 olmalıdır. Yani C = 0 veya 5. ( Çünkü ABC sayısı, son rakamı C olan üç basamaklı sayı)
  • Bir sayının 9’a bölünebilmesi için rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır. Yani A + B + C, 9’un katıdır.
  • BCA sayısı boş çemberdeki sayıya bölünecek.

Boş Çember Değerlerinin İncelenmesi

Boş çemberde üç aday sayı var: 4, 10, 3. Şimdi tek tek inceleyelim:

1. Boş Çember = 4 ise

  • BCA sayısı 4’e tam bölünecek.
  • 4 ile bölünebilirlik için son iki rakamının 4’e bölünebilen bir sayı olması gerekir.

2. Boş Çember = 10 ise

  • BCA sayısı 10’a tam bölünecek.
  • Son rakam kesinlikle 0 olmalıdır. B harfi 0 olmak zorunda. Ama soru sayılar sıfırdan farklı rakamlar olmalı dediği için (A, B, C sıfırdan farklı), bu muhtemelen geçerli değil.

3. Boş Çember = 3 ise

  • BCA sayısı 3’e tam bölünecek.
  • Bir sayının 3’e bölünebilmesi için rakamları toplamının 3’ün katı olması gerekir.

A+B+C Toplamının Hesaplanması

  • CAB sayısı 9’a tam bölünüyor:

    • A + B + C % 9 = 0 olmalı.
    • Yani A+B+C, 9, 18,… gibi 9’un katı olmalı.

  • ABC sayısı 5’e bölünüyor:

    • C (son rakam) = 5 veya 0 olmalı. Soru “Sıfırdan farklı rakamlar” dediği için C=5 olmalı.

  • BCA sayısı boş çemberdeki sayıya bölünüyor:

İnceleme:

  • C = 5 (ABC son rakamı 5)
  • BCA sayısı: B C A = B 5 A (B,C,A farklı rakamlar)
  • BCA sayısının bölünebileceği sayıya göre işlem yapacağız:

Boş Çember 4:

  • B5A sayısı 4’e tam bölünecek.
  • 4 ile bölünebilmesi için son iki rakamı “5A” sayısının 4’e bölünmesi gerekiyor.
  • Son iki rakamda 5 var, örneğin 51, 52, 53… 50’den başlayabiliriz.

5 ile başlayan iki basamaklı sayıların 4’e bölünüp bölünmediğine bakalım:

  • 52 % 4 = 0
  • 56 % 4 = 0
    Ama sonsuz değer olamaz, çünkü A bir rakamdır (0-9 ve farklı olmalı).

Burada A ve B farklı rakamlar olacak şekilde mümkün olanlar incelenmeli.

Boş Çember 10:

  • 10 ile tam bölünebilmesi için son rakam 0 olmalı.
  • C=5 olduğuna göre BCA sayısının son rakamı A olmalı. A=0 ise olur ancak daha önce “Sıfırdan farklı rakamlar” yazıyor. Bu geçerli değil.

Boş Çember 3:

  • BCA sayısı 3’e tam bölünecek.
  • Toplam rakamlar B+C+A sayısının rakamlarının toplamı 3’ün katı olmalı.
  • C = 5 olduğuna göre B + 5 + A sayısının rakamları toplamı 3’ün katı.
  • Örneğin B+A+5 ≡ 0 mod 3.

Sonuç:

  • 10 sayısı elendi (son rakam koşulu tutmuyor).
  • 4 ve 3 sayıları için koşullar sağlanabilir.
  • 9’a bölünebilme koşulundan A+B+C toplamı mutlaka 9’un katı olacaktır.

Soru hangileri yazılırsa en az bir tane A+B+C toplamı bulunabilir?

Cevap, I (4) ve III (3) olacaktır. Yani şıklar arasında “I ve III” olan D seçeneği doğru.

Sonuç ve Doğru Seçenek

Doğru cevap: D) I ve III

Sıkça Yapılan Hatalar

  • Bölünebilme kurallarının eksik uygulanması (örneğin 5 ve 10 için son rakam analizi).
  • Rakamların birbirinden farklı olması gerektiğinin göz ardı edilmesi.

Sonraki Adım

Benzer sorular için bölünebilme kuralları ve permutasyon kombinasyon problemlerini uygulayabiliriz. Yardım ister misiniz?

@Eertyy

3

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ABC üç basamaklı sayısı 5’e, BCA boş çemberin içindeki sayıya, CAB ise 9’a tam bölünebilmektedir. Buna göre, boş çembere 4 (I), 10 (II) veya 3 (III) yazılırsa en az bir tane A + B + C toplamı bulunabilir?

  • Temel 1: ABC ⊢ 5 ⇒ birler basamağı C ∈ {0, 5}
  • Temel 2: CAB ⊢ 9 ⇒ A + B + C ∈ {9, 18}
  • Temel 3: BCA ⊢ D ⇒ D = 4, 10 veya 3 için sırasıyla 4’e, 10’a veya 3’e bölünebilmelidir

Doğrudan cevap: I ve III için en az bir A + B + C toplamı bulunabilir; II için bulunamaz. Yani doğru şık D) I ve III.

İçindekiler

  1. Sorunun Analizi
  2. Boş Çember Değerlerinin İncelenmesi
  3. Sonuç ve Şık
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablo
  6. SSS

1. Sorunun Analizi

  • ABC’nin 5’e bölünebilmesi için C\in\{0,5\} olmalıdır.
  • CAB’nin 9’a bölünebilmesi, rakamlar toplamının 9’un katı olması demektir:
    A+B+C\;=\;9\quad\text{veya}\quad 18.
  • BCA’nin D’ye bölünebilmesi ise D’nin alınan değeriyle net olarak kontrol edilecektir.

2. Boş Çember Değerlerinin İncelenmesi

  1. D = 4

    • BCA’nın 4’e bölünebilmesi için son iki basamak (CA) sayısı 4’e bölünmeli:
      10C + A \equiv 0\pmod4.
    • Deneme sonucunda C=0 için A\in\{4,8\}, C=5 için A\in\{2,6\} değerleri çıkar.
    • Her kombinasyon için A+B+C=9 veya 18 koşulunu sağlamak mümkündür (ör. (A,B,C)=(4,5,0), (6,7,5)).

  2. D = 10

    • 10’a bölünebilmek için BCA’da A = 0 olmalı. Oysa A, yüzler basamağıdır ve 0 olamaz.
    • Hiçbir çözüm yoktur.

  3. D = 3

    • 3’e bölünebilmek için rakamlar toplamı 3’ün katı olmalı. Oysa CAB zaten 9’a bölündüğü için A+B+C 9’un katıdır, dolayısıyla otomatikman 3’e de bölünür.
    • Her geçerli (ABC, CAB) kombinasyonu bu şartı da karşılar.

3. Sonuç ve Şık

  • I (4) ⇒ Var
  • II (10) ⇒ Yok
  • III (3) ⇒ Var

Doğru yanıt: D) I ve III.

4. Karşılaştırma Tablosu

D değeri Bölünebilme Şartı Çözüm Durumu Örnek (A,B,C) ve A+B+C
4 10C+A\equiv0\pmod4 Var (4,5,0) ⇒ 9; (6,7,5) ⇒ 18
10 A = 0 Yok –
3 A+B+C\equiv0\pmod3 (otomatik) Var (8,1,0) ⇒ 9; (2,3,5) ⇒ 10*


(2,3,5) toplamı 10’dur; ancak CAB için 9’a bölünme sağlamadığı için geçmemektedir. Yine de 3’e bölüm şartı desteklenir.

5. Özet Tablo

Şık I (4) II (10) III (3)
Mümkünlük ✓ ✗ ✓

6. SSS

Q1: ABC’nin 5’e tam bölünebilmesi için hangi basamak nasıl seçilmelidir?
A1: Birler basamağı C\in\{0,5\} olmalıdır.

Q2: Neden II. şıkta (10) hiçbir çözüm yok?
A2: 10’a bölünebilmek için A=0 gerekir; fakat A yüzler basamağıdır ve 0 olamaz.

Q3: III. şık (3) her zaman sağlanır mı?
A3: Evet, CAB zaten 9’a bölündüğünden A+B+C 9’un katı, dolayısıyla 3’ün katıdır.

Başka hangi YKS sayısal sorusunu adım adım çözmemi isteriniz?
@Eertyy