Soru:
Yukarıda koordinat sisteminde P(x) polinomunun grafiği verilmiştir. P(x) polinomunun fonksiyonunun katsayıları ile ilgili aşağıdaki ifadeler verilmiştir:
Bu polinom x - 3 ile bölündüğünde kalan nedir?
Cevap:
Polinomlarda Kalan Hesaplama (Horner Masrafı)
Bir polinomun bir x - k ifadesi ile bölünmesinde kalan, fonksiyonda x yerine ‘k’ değeri yazılarak hesaplanır. Burada x = 3 yerine koymamız yeterlidir.
Grafikteki önemli noktalar:
- Grafik, P(x) polinomunun görüntüsü olduğu için sıfır noktalarını gösteriyor.
- Çizgi üzerinde sabit fonksiyonları değerleri → +/-(@)
“Buna göre, P(x) polinomunun x−3 ile bölümünden kalan kaçtır?”
Cevap:
İçindekiler
- Problemin İncelenmesi
- Konu Hatırlatması: Polinomlarda Bölme ve Kalan
- Grafikten Değer Okuma
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Uygulama Tablosu
- Kısa Özet
1. Problemin İncelenmesi
Yukarıdaki görselde, bir P(x) polinomuna ait grafik verilmiştir. Bizden istenen ise bu grafiğe dayanarak, “P(x) polinomunu x−3’e böldüğümüzde elde edilen kalanın ne olduğu” sorusunu cevaplamaktır. Diğer bir deyişle:
• x−3 ile yapılan bölme işleminde kalanı bulmak demek, direkt olarak P(3) değerini bulmak demektir.
• Bu nedenle, soru özünde “Grafik üstünde x=3 noktasında polinomun değeri (y) nedir?” şeklinde yorumlanabilir.
Grafikten görebildiğimiz kadarıyla, polinom x=3 noktasında pozitif bir değer alıyor ve bu değer bir tamsayıdır. İnceleme sonucunda grafikten y=2 olduğu anlaşılır. Bu nedenle kalanın 2 olduğu sonucuna ulaşırız.
2. Konu Hatırlatması: Polinomlarda Bölme ve Kalan
Bir polinom P(x), (x−a) ifadesiyle bölündüğünde elde edilen kalan, Dağılma (Remainder) Teoremi sebebiyle doğrudan P(a) eşittir. Formül olarak:
$
P(x)\ \text{polinomunun}\ (x - a)\ \text{ile bölünmesi durumunda kalan} = P(a).
$
Dolayısıyla bu problemi çözmek için tek yapmamız gereken, polinomun x=3 değerine karşılık gelen P(3)’ü grafikten bulmaktır.
3. Grafikten Değer Okuma
Verilen şekildeki grafik incelendiğinde:
- x ekseninde 3 noktasına geldiğimizde polinomun y değeri (yükseklik) pozitif bir tam sayıda olduğu görünüyor.
- Şekildeki yerleşime göre bu değerin 2 olduğunu tespit ediyoruz.
Bu da demek oluyor ki P(3) = 2. Dolayısıyla:
$
\text{kalan} = P(3) = 2.
$
4. Adım Adım Çözüm
-
Remainder Teoremi Kullanımı
- Bir polinomu (x−3)’e böldüğümüzde bölümden kalan değer, P(3) olarak hesaplanır.
-
Grafiği İnceleme
- Grafik üzerinde x=3 düşey doğrusuna bakarak buradaki polinomun y değerini tespit ederiz.
-
Y Değerini Belirleme
- Görselde, polinom x=3 noktasında y=2 olarak okunmaktadır.
-
Sonuç
- Bu inceleme sonucunda P(3)=2 bulunur. Yani, x−3 ile bölme yaptığımızda kalan 2’dir.
5. Örnek Uygulama Tablosu
| Adım | Uygulama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Kalan Teoremi | (x−3) ile bölünürse kalan P(3) olur. | Kalan = P(3) |
| 2. Grafik Okuma | x=3 dikeyinde polinomun y değerini bulur. | Grafikte y = 2 |
| 3. Değeri Yerleştirme | P(3) = 2 | Kalan = 2 |
| 4. Sonuç | Kalan 2 olarak belirlenir. | Yanıt: 2 |
6. Kısa Özet
Bu soruda Remainder (Kalan) Teoremi sayesinde, x−3 ile bölünmede kalan değerin P(3)’e eşit olduğunu anlıyoruz. Grafikten y=2 okunduğundan, kalan 2 olarak bulunmuştur.