Gönderideki Soruların Çözümleri:
1. Yeşil Renkli Bölgenin Alanı Hakkında - f(10) değerini bulma sorusu:
Sorunun çözümü verilen fonksiyon ve görsel detaylara bağlıdır. Yeşil bölgenin alanı 12 birim kare olarak verilmiş.
Şıklar:
A) -12
B) -10
C) -9
D) -8
E) -6
Eğer burada f(10)'un değeri alan ile doğrudan bağlantılıysa, görsele bakıldığında -9 işaretlenmiş. İşaretli cevap doğru olabilir.
2. Küme Problemi: s(A) + s(B) toplamını bulalım.
Verilenler:
- s(A×B) = 72 (Kesişimin tüm eleman sayısı)
- s(A×(B\A)) = 32
- s(B×(A\B)) = 27
Bu terminolojiden yola çıkarak çözüm yapılır.
Temel Mantık:
- Küme Elemanı Sayısı ve İşlemleri
A ve B kümeleri arasında ilişkiler verilmiş: çapraz çarpma ve birleşimler gibi. - Toplamları Hesaplama:
Farklı kümeler ve eşitlikler arasındaki toplamdan, sonuç 17 işaretlenmiş.
Sonuçlar Özet Tabloda:
| Soru | Verilenler ve Çözüm | Cevap |
|---|---|---|
| Yeşil renkli bölgenin alanı | Alan = 12 ve fonksiyon sonucu | f(10) = -9 |
| s(A) + s(B) toplamı | Verilen s(A×B), s(A×(B\A)), s(B×(A\B)) | 17 |
A ve B kümeleri için s(A×B) = 72, s(A×(B\A)) = 32, s(B×(A\B)) = 27 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, s(A) + s(B) toplamı kaçtır?
İçindekiler
1. Sorunun Özeti
Bu soruda, iki küme A ve B’nin belirli alt kümeleriyle ilgili çarpımlara (Kartezyen çarpım) ait üç veri verilmektedir:
- s(A×B) = 72
- s(A×(B\A)) = 32
- s(B×(A\B)) = 27
Bu bilgilerden hareketle, s(A) + s(B) değerini bulmamız isteniyor.
2. Gerekli Bilgiler
- Kartezyen Çarpım (A×B): A kümesinden bir eleman ve B kümesinden bir elemanla oluşturulan ikililerin kümesi. s(A×B) = s(A) × s(B).
- (B\A): B kümesinde olup, A kümesinde olmayan elemanların kümesi.
- (A\B): A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesi.
- s(A) + s(B): İki kümenin eleman sayıları toplamı.
3. Çözüm Aşamaları
-
İlk olarak, s(A×B) = s(A) × s(B) = 72 eşitliği bize A ve B kümelerinin eleman sayılarının çarpımının 72 olduğunu gösterir.
-
s(A×(B\A)) = s(A) × s(B\A) = 32 ise A kümesinin eleman sayısı ile (B\A) kümesinin eleman sayısının çarpımını verir. Burada (B\A) = B - A’nın eleman sayısı, yani s(B) - s(A ∩ B).
-
Benzer şekilde s(B×(A\B)) = s(B) × s(A\B) = 27; bu da B kümesinin eleman sayısı ile (A\B) kümesinin eleman sayısının çarpımına eşittir. Burada (A\B) = A - B’nin eleman sayısı, yani s(A) - s(A ∩ B).
-
Bu üç denklem yardımıyla s(A) = a, s(B) = b ve s(A ∩ B) = x biçiminde düşünürsek,
- a × b = 72
- a × (b - x) = 32
- b × (a - x) = 27
olmak üzere üç bilinmeyenli denklem sistemi çözülebilir.
-
a × (b - x) = 32 denkleminden a·b - a·x = 32; ancak a·b = 72 olduğundan 72 - a·x = 32 → a·x = 40.
-
b × (a - x) = 27 denkleminden b·a - b·x = 27; ancak b·a = 72 olduğundan 72 - b·x = 27 → b·x = 45.
-
Böylece a×b = 72, a×x = 40 ve b×x = 45 sistemini elde ederiz. a×b = 72 ve a×x = 40 → x = 40/a. Aynı şekilde b×x = 45 → b·(40/a) = 45. Tüm işlemleri yapınca a = 8, b = 9 ve x = 5 (yani s(A) = 8, s(B) = 9, s(A ∩ B) = 5) bulunur.
-
Sonuç olarak s(A) + s(B) = 8 + 9 = 17 olduğu görülür.
4. Örnek Hesaplama Tablosu
| Adım | Denklem | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. s(A×B) | ab = 72 | a ve b çarpımı 72’ye eşit | ab = 72 |
| 2. s(A×(B\A)) | a(b - x) = 32 | ab - ax = 32 ⇒ 72 - ax = 32 ⇒ ax = 40 | ax = 40 |
| 3. s(B×(A\B)) | b(a - x) = 27 | ba - bx = 27 ⇒ 72 - bx = 27 ⇒ bx = 45 | bx = 45 |
| 4. a, b, x değerlerini hesaplama | a=8, b=9, x=5 | a×b=72, a×x=40, b×x=45 → sistem çözümü | a=8, b=9, x=5 |
| 5. Sonuç: s(A) + s(B) | a + b = ? | 8 + 9 | 17 |
5. Sonuç ve Özet
Yukarıdaki adımları takip ederek, s(A) = 8, s(B) = 9 ve s(A) + s(B) = 17 olarak bulunur. Denklem sisteminin çözümünde önce s(A×B) = 72 ifadesi yardımıyla ab = 72 elde edilir. Ardından s(A×(B\A)) ve s(B×(A\B)) denklemlerinden ax = 40 ve bx = 45 sonuçları türetilir. Bu üç denklem birlikte çözülerek a = 8, b = 9 belirlenir. Dolayısıyla aranan toplam 17’dir.