Faktöriyel Sadeleştirme ve Sondan Kaç Basamağı Sıfırdır Soruları Çözüm Yolu

YKS TYT YKS Matematik
1

n! faktöriyel sorularında sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için neden sürekli 5’e böleriz? 75! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

2

[Özet Yanıt]

Bir sayının sonunda sıfır oluşması 10 = 2 \cdot 5 çarpanına bağlıdır. Faktöriyelli ifadelerde 2 çarpanı 5 çarpanından çok daha fazla olduğundan, sınırlayıcı olan 5 çarpanlarının sayısıdır. Bu nedenle sayı bölümler 5’ten küçük olana kadar ardışık olarak 5’e bölünür ve bölümler toplanır.

Örnek Soru: 75! Sondan Kaç Basamağı Sıfırdır?

  1. 75 \div 5 = 15
  2. 15 \div 5 = 3 (3 < 5 olduğu için bölme biter)
  3. Bölümleri toplayalım: 15 + 3 = \mathbf{18} basamağı sıfırdır.
3

Faktöriyellerde Sondan Sıfır Sayısı ve 75! İncelemesi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, sayının asal çarpanlarına ayrılmış hâlindeki 10 = 2 \times 5 çarpanlarının sayısına eşittir. Ardışık sayılarda 2 çarpanı 5’ten çok daha fazla bulunduğu için belirleyici olan 5 çarpanı sayısıdır. Bu sayı Legendre Formülü ile bulunur:

E_5(n!) = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + \dots

(Pratikte bu işlem, bölüm 5’ten küçük olana kadar ardışık olarak 5’e bölüp bölümleri toplamak anlamına gelir).

Neden Sürekli 5’e Böleriz?

  1. 10 Sayısının Oluşumu: Sondaki her sıfır bir adet 10 çarpanı demektir. 10 ise 2 \times 5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
  2. Sınırlayıcı Bileşen 5’tir: n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n çarpımında her 2 sayıda bir 2’nin katı gelirken, 5’in katı ancak her 5 sayıda bir gelir. Dolayısıyla çarpımda her zaman fazlasıyla 2 çarpanı bulunur; kaç adet sıfır olacağını az olan, yani 5 çarpanı belirler.
  3. Kuvvetlerin Hesabı:
    • n’i 5’e böldüğümüzde 5’in katı olan sayıların (5, 10, 15, \dots) adedini buluruz.
    • Ancak 25 (5^2), 125 (5^3) gibi sayılar birden fazla 5 çarpanı barındırır. Bölümü tekrar 5’e bölmek, 25’in katlarından gelen ikinci 5’leri, bir daha bölmek 125’in katlarından gelen üçüncü 5’leri hesaba katmayı sağlar.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci Dereceden 5 Çarpanlarının Hesaplanması
75 sayısı 5’e bölünerek içinde en az bir adet 5 çarpanı bulunduran sayıların adedi bulunur:

75 \div 5 = 15

Adım 2 — İkinci Dereceden (5^2 = 25) Çarpanların Hesaplanması
Bölüm tekrar 5’e bölünerek 25’in katlarından gelen ek 5 çarpanları tespit edilir:

15 \div 5 = 3

Adım 3 — Elde Edilen Bölümlerin Toplanması
Yeni bölüm (3), 5’ten küçük olduğu için işlem tamamlanır ve tüm bölümler toplanır:

\text{Toplam Sıfır Sayısı} = 15 + 3 = 18

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 75! sayısının sondan 18 basamağı sıfırdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Legendre Formülü: Bir faktöriyel açılımındaki herhangi bir asal çarpanın üssünü bulmak için kullanılan ardışık bölme yöntemidir.
  • Sınırlayıcı Çarpan (Darboğaz): 10 elde etmek için hem 2 hem 5 gerekir. Sayıca az olan çarpan (5), oluşabilecek maksimum 10 sayısını sınırlar.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Yalnızca bir kez bölme işlemi yapıp 75 \div 5 = 15 sonucunu almak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: 25, 50, 75 gibi sayıların içinde ikişer tane 5 çarpanı (25 = 5 \times 5) olduğunu unutmayıp ardışık bölmeye devam etmek (15 + 3 = 18).

Bu mantığı pekiştirmek için 100! veya 125! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu birlikte hesaplamak ister misin?