lütfen çöz
Faktöriyel İfadesinin Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL:
- Doğal sayılar için tanımlı faktöriyel işleminde n! ifadesinin geçerli olabilmesi için n \ge 0 olmalıdır. Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır.
- 0! = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Faktöriyel Tanım Kümelerini Belirleme
Verilen işlemde hem (2-x)! hem de (x-2)! ifadeleri yer almaktadır. Bir faktöriyel ifadesinin içi negatif olamayacağından:
- 2 - x \ge 0 \implies x \le 2
- x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2
Adım 2 — x Değerini Tespit Etme
Her iki eşitsizliği aynı anda sağlayan tek bir gerçek sayı vardır:
x = 2
Adım 3 — Değeri İfadede Yerine Yazma ve Sadeleştirme
Bulunan x = 2 değerini ana ifadede yerine yazalım:
\frac{(2+2)!}{(2-2)!} \cdot \frac{(2-2)!}{2} = \frac{4!}{0!} \cdot \frac{0!}{2}
0! = 1 ve 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 olduğundan:
\frac{24}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{24}{2} = 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyel Tanım Kümesi
- Tanım: n! ifadesi yalnızca n \in \mathbb{N} (n = 0, 1, 2, \dots) için tanımlıdır.
- Bu problemde: İfade içinde hem (a - x)! hem de (x - a)! bulunduğu durumlarda eşitliğin tek çözümü x = a olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Değişkeni Sadeleştirmeye Çalışmak
- Yanlış: (x+2)! veya (x-2)! ifadelerini çarpanlarına açarak karmaşık cebirsel sadeleştirmeler yapmaya çalışmak.
- Doğru: İfadede (2-x)! ve (x-2)! gibi birbirinin ters işaretlisi olan durumları görüp tanım kümesinden x = 2 sonucuna doğrudan ulaşmak.
- Neden yanlış: Faktöriyel cebirsel bir polinom değildir; negatif değer alamayacağı için öncelikle tanım kümesi kısıtlaması dikkate alınmalıdır.
Faktöriyel tanım aralığı veya benzer soru tipleriyle ilgili başka bir örnek çözmemi ister misin?