[AC], widehat{FAE} nin açıortayıdır.
[AF] \perp [BC], [AE] \perp [DC]
|BC| = 2a br
|CD| = (a + 5) br
|AB| = (b + 2) br
|AD| = (2b - 3) br
Yukarıda verilenlere göre a \cdot b çarpımı kaçtır?
A) 25
B) 24
C) 20
D) 18
E) 15
Açıortay Özelliği ve Dik Üçgende Eşlik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları ve dikmelerin kollarda ayırdığı parçaların uzunlukları birbirine eşittir (Açıortay Teoremi / Açı-Kenar-Açı Eşliği).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Açıortaydan Kollara İnen Dikmelerin Eşitliği
[AC] doğru parçası \widehat{FAE} açısının açıortayıdır ve C noktasından açının kollarına [CB] \perp [AF] ve [CD] \perp [AE] dikmeleri indirilmiştir. Açıortay kuralı gereğince indirilen bu dikme uzunlukları birbirine eşit olmalıdır:
|BC| = |CD|
2a = a + 5 \implies a = 5
Adım 2 — Eş Dik Üçgenler ve Kolların Eşitliği
Hipotenüsleri ortak ([AC]) ve birer dik kenarları eşit (|BC| = |CD|) olan ABC ve ADC dik üçgenleri hipotenüs-kenar eşliğinden dolayı eştir (\triangle ABC \cong \triangle ADC). Dolayısıyla kollardaki diğer dik kenarlar da birbirine eşit olur:
|AB| = |AD|
b + 2 = 2b - 3 \implies b = 5
Adım 3 — Çarpımın Hesaplanması
Bulunan a ve b değerleri çarpıldığında:
a \cdot b = 5 \cdot 5 = 25
CEVAP: A) 25 (a \cdot b = 25)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Açıortay doğrusu üzerindeki bir noktadan kollara dikme inildiğinde oluşan iki dik üçgen her zaman eş üçgenlerdir. Bu nedenle hem dik kollar (|BC| = |CD|) hem de tepe noktasından dikme ayaklarına kadar olan mesafeler (|AB| = |AD|) birbirine doğrudan eşitlenir.