Dik koordinal dücleminde qurçel sayılar kümesi üzennda
tanımli fx)=xfonksiyonun grafigi verilmiştir.
Buna göro, mavi boyalı alanların toplamını bulunuz.
Soru Fotoğrafı:
f(x) = x³ Fonksiyonunda Mavi Boyalı Alanların Toplamı
KULLANILAN FORMÜL:
Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı bulmak için İntegral yöntemi kullanılır:
\text{Alan} = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx
Ayrıca x^n şeklindeki ifadelerin integrali şu formülle hesaplanır:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafiğin İncelenmesi
Grafikte iki farklı boyalı bölge bulunmaktadır:
- Sol bölge: x = -1 ile x = 0 arasında, x ekseninin altında kalan alan.
- Sağ bölge: x = 0 ile x = 2 arasında, x ekseninin üstünde kalan alan.
Adım 2 — Sağdaki Alanın Hesaplanması (A_1)
0 ile 2 aralığındaki alanı hesaplayalım:
A_1 = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}
A_1 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \text{ birimkare}
Adım 3 — Soldaki Alanın Hesaplanması (A_2)
-1 ile 0 aralığındaki alanı hesaplayalım. Alan negatif olamayacağı için mutlak değer kullanılır:
A_2 = \left| \int_{-1}^{0} x^3 \, dx \right| = \left| \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{0} \right|
A_2 = \left| \frac{0^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} \right| = \left| 0 - \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4} \text{ birimkare}
Adım 4 — Toplam Alanın Bulunması
Mavi boyalı iki alanın toplamı:
\text{Toplam Alan} = A_1 + A_2 = 4 + \frac{1}{4}
\text{Toplam Alan} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{17}{4} (veya 4,25) birimkare
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Belirli İntegral
- Tanım: Bir fonksiyonun belirli sınırlar arasındaki eğri altında kalan alanını ifade eder.
- Bu problemde: Grafiğin x ekseni ile sınırladığı bölgeyi bulmak için kullanıldı.
2. Alan ve Negatif Değerler
- Tanım: Fonksiyon grafiği x ekseninin altında kaldığında integral sonucu negatif çıkar.
- Bu problemde: x = -1 ile x = 0 arasındaki bölge eksenin altında olduğu için integral -\frac{1}{4} çıktı, ancak alan olarak mutlak değeri yani \frac{1}{4} alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sınırları Tek Seferde Almak
- Yanlış: \int_{-1}^{2} x^3 \, dx şeklinde tek bir işlem yapmak.
- Doğru: Fonksiyon x=0 noktasında işaret değiştirdiği için alanları ayrı ayrı hesaplayıp toplamak gerekir. Tek seferde hesaplanırsa alanlar birbirini götürür ve sonuç hatalı çıkar.
- Neden Yanlış: İntegral cebirsel toplamı verirken, soru bizden geometrik alanların mutlak toplamını istemektedir.
Bu soruda integral yerine x^3 grafiğinin simetri özelliklerini kullanarak bir parça için pratik bir yöntem denemek ister misin?