F(x) = x^4 - 6x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun birinci türevi f(x) fonksiyonudur.
f(x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a, b] olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) -3
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
Fonksiyonun Azalan Olduğu Aralık ve İkinci Türev İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir f(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulmak için fonksiyonun birinci türevinin işaret tablosu incelenir; f'(x) \le 0 eşitsizliğini sağlayan en geniş aralık fonksiyonun azalan olduğu aralıktır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — f(x) Fonksiyonunun Bulunması
F(x) = x^4 - 6x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun birinci türevi f(x) olduğuna göre:
f(x) = F'(x) = 4x^3 - 12x + 5
Adım 2 — f(x) Fonksiyonunun Türevinin Alınması
f(x)'in azalan olduğu aralığı belirlemek için f'(x) türevi hesaplanır ve sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur:
f'(x) = 12x^2 - 12 = 0 \implies 12(x^2 - 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1
Adım 3 — İşaret Tablosu ve En Geniş Azalan Aralığın Tespiti
f'(x) başkatsayısı pozitif (12 > 0) olan ikinci dereceden bir ifadedir. Kökler arasında f'(x) \le 0 değerini alır:
x \in [-1, 1] \text{ aralığında } f'(x) \le 0
Buradan azalan olduğu en geniş kapalı aralık [a, b] = [-1, 1] olur.
a = -1 \quad \text{ve} \quad b = 1 \implies a + b = -1 + 1 = 0
CEVAP: C) 0 (a + b = -1 + 1 = 0)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda F(x)'in değil, f(x)'in azalan olduğu aralık sorulmaktadır. Bu nedenle f(x) \le 0 değil, f'(x) \le 0 (yani F''(x) \le 0) koşulu incelenmelidir. En sık yapılan çeldirici hata, f(x)'in kendisini sıfırdan küçük yapmaya çalışmaktır.