f(x) = \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x + 2}} fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \lim_{x \to 2} f(x) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 2\sqrt{2}
E) 4
f(x) = \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x + 2}} Fonksiyonunun x \to 2 için Limit Değeri
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi
Bir rasyonel fonksiyonun limitini hesaplarken ilk olarak x yerine verilen limit değeri (x = 2) yazılır:
-
Payın değeri:
x^2 - 4 \implies 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0 -
Paydanın değeri:
\sqrt{x + 2} \implies \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2
Adım 2 — Belirsizlik Kontrolü ve Limit Değerinin Hesaplanması
Pay 0 ve payda 2 olarak bulunmuştur. Payda sıfırdan farklı bir reel sayı olduğu için ifadede \left[\frac{0}{0}\right] belirsizliği oluşmaz.
Bu durumda limit değeri doğrudan bu orana eşittir:
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x + 2}} = \frac{0}{2} = 0
Adım 3 — Seçenek Karşılaştırması
A. 0 — Doğru değer; pay sıfır ve payda pozitif reel sayı (2) olduğu için oran 0’dır.
B. 1 — Hatalı işlem sonucu.
C. 2 — Yalnızca paydanın değeridir.
D. 2\sqrt{2} — Hatalı kök/sadeleştirme işlemi sonucu elde edilen değer.
E. 4 — Hatalı hesaplama sonucu.
Adım 4 — Son Doğrulama
Fonksiyon x = 2 noktasının komşuluğunda ve bu noktada tanımlı ve sürekli olduğu için limit değeri fonksiyonun x=2’deki görüntüsüne (f(2) = 0) eşittir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu konuyu pekiştirmek için \frac{0}{0} belirsizliği içeren çarpanlara ayırma veya eşlenikle çarpma gerektiren benzer bir limit sorusu çözmemi ister misin?