f(x) = (x^2 - 3x) dot (2x + 1) olduğuna göre f'(0) kaçtır?
A) -3
B) -1
C) 0
D) 3
E) 4
Çarpımın Türevi ile Fonksiyonun Türev Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İki fonksiyonun çarpımının türevi kuralı:
[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpanların türevlerini ayrı ayrı belirleyelim
Fonksiyonu oluşturan iki parçayı u(x) ve v(x) olarak tanımlayalım ve türevlerini alalım:
u(x) = x^2 - 3x \implies u'(x) = 2x - 3
v(x) = 2x + 1 \implies v'(x) = 2
Adım 2 — Çarpımın türevi formülünü uygulayalım
Türev kuralına göre ifadeleri yerine yazalım:
f'(x) = (2x - 3) \cdot (2x + 1) + (x^2 - 3x) \cdot 2
Adım 3 — x = 0 değerini türev fonksiyonunda yerine yazalım
İfadeyi sadeleştirmekle vakit kaybetmeden doğrudan x = 0 yazarak sonucu hesaplayalım:
f'(0) = (2(0) - 3) \cdot (2(0) + 1) + (0^2 - 3(0)) \cdot 2
f'(0) = (-3) \cdot (1) + (0) \cdot 2
f'(0) = -3 + 0 = -3
(Alternatif Yol: İfadeyi önce dağıtarak f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 3x elde edip türev aldığımızda f'(x) = 6x^2 - 10x - 3 bulunur. Buradan da f'(0) = -3 çıkar.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Çarpımın Türevi: Çarpım halindeki iki ifadenin türevi alınırken “birincinin türevi \times ikinci + ikincinin türevi \times birinci” kuralı uygulanır.
- Noktadaki Türev: Türevi alınan fonksiyonda değişken yerine verilen nokta yazılarak o noktadaki teğetin eğimi (türev değeri) bulunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Parantezleri çarpmadan türev alırken parantez kullanmayı unutup işlem önceliğini karıştırmak (2x - 3 \cdot 2x + 1 şeklinde parantezsiz yazmak).- Doğru Yaklaşım: Her çarpanın türevini mutlaka ayrı parantezler içinde yazmak: (2x - 3) \cdot (2x + 1) + \dots
Bölümün türevi kuralı ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?