f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b + 1 fonksiyonunun ekstremum noktalarından biri x ekseni üzerinde, diğeri y ekseni üzerindedir.
Buna göre, f(1) değeri kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) -2
Polinom Fonksiyonlarında Türev ile Ekstremum Noktası Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir (f'(x) = 0). Bir noktanın y ekseni üzerinde olması apsisinin sıfır (x = 0), x ekseni üzerinde olması ise ordinatının sıfır (y = f(x) = 0) olduğunu belirtir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonun Birinci Türevini Alma ve a Katsayısını Bulma
Verilen f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b + 1 fonksiyonunun türevini alalım:
f'(x) = 3x^2 - 6x + a
Ekstremum noktalarından biri y ekseni üzerinde olduğuna göre bu noktanın apsisi x = 0’dır. Dolayısıyla f'(0) = 0 olmalıdır:
f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + a = 0 \implies a = 0
Adım 2 — İkinci Ekstremum Noktasını ve b Katsayısını Bulma
a = 0 değerini türev denkleminde yerine yazıp diğer kökü bulalım:
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0 \quad \text{ve} \quad x_2 = 2
Diğer ekstremum noktası x ekseni üzerinde olduğuna göre apsisi x = 2 olan noktanın ordinatı sıfırdır, yani f(2) = 0 olur:
f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 0 \cdot 2 + b + 1 = 0
8 - 12 + b + 1 = 0 \implies b - 3 = 0 \implies b = 3
Adım 3 — f(1) Değerini Hesaplama
Bulunan a = 0 ve b = 3 değerlerini fonksiyonda yerine yazarak f(x) kuralını elde edelim:
f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
Buradan x = 1 için fonksiyonun değeri:
f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2
CEVAP: A) 2 (f(1) = 2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda “ekstremum noktası eksen üzerindedir” dendiğinde sıklıkla apsis ile ordinat karıştırılır. y ekseni üzerindeki noktanın türev kökü x=0, x ekseni üzerindeki noktanın ise fonksiyon değeri f(x_0)=0 olarak alınmalıdır.