F(x) = |x – 3| + |x + 4| olduğuna göre, f(x) = 7 denklemini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
f(x) = |x – 3| + |x + 4| olduğuna göre, f(x) = 7 denklemini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
Önemli Noktalar
- Mutlak değer fonksiyonu toplandığında, genellikle kritik noktalar (–4 ve 3) etrafında parçalı tanım uygulanır.
- Ara aralıktaki x değerleri için |x–3|+|x+4| ifadesi sabit bir toplam (7) verir.
- Tam sayılar için x ∈ [–4, 3] aralığındaki tüm değerler geçerlidir; bu da 8 farklı tam sayı demektir.
f(x) = |x – 3| + |x + 4| fonksiyonunda f(x)=7 denklemi, x∈[–4, 3] aralığındaki her değerde sağlanır; bu aralıkta 8 tam sayı vardır.
İçindekiler
Çözüm
Mutlak değer ifadesi iki kritik nokta –4 ve 3 etrafında üç bölge oluşturur:
-
Bölge: x < –4
f(x)=|x-3|+|x+4|=(3-x)+(-(x+4))= -2x-1Denkleme yazarsak
-2x-1=7\;\Longrightarrow\;x=-4 -
Bölge: –4 ≤ x ≤ 3
f(x)=|x-3|+|x+4|=(3-x)+(x+4)=7Bu aralıktaki her x için f(x)=7’dir.
-
Bölge: x > 3
f(x)=|x-3|+|x+4|=(x-3)+(x+4)=2x+1Denkleme yazarsak
2x+1=7\;\Longrightarrow\;x=3
Böylece tüm tam sayı çözümler x ∈ {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} kümesindedir. Toplam 8 adet tam sayı vardır.
Karşılaştırma Tablosu
| Yöntem | Avantajı | Dezavantajı |
|---|---|---|
| Parçalı Tanım Yaklaşımı | Her bölgeyi ayrı ayrı işleyerek net sonuç | Bölge sayısı arttıkça işlem uzar |
| Grafiksel Yaklaşım | Farklı aralıklarda grafik çizerek görsel | Grafik çizimi ve okunması zaman alabilir |
Özet Tablosu
| Bölge | x Aralığı | f(x) İfadesi | Çözüm |
|---|---|---|---|
| 1. Bölge | x < –4 | –2x – 1 | x = –4 |
| 2. Bölge | –4 ≤ x ≤ 3 | 7 | Tüm x geçerli |
| 3. Bölge | x > 3 | 2x + 1 | x = 3 |
| Toplam Tam Sayı | 8 çözüm |
SSS
S1. f(x)=|x−a|+|x−b|=k denklemi kaç çözüm verir?
C1. Eğer k = |a−b| ise tüm x ∈ [min(a,b), max(a,b)] aralığı çözümdür; tam sayı sayısı = max(a,b) − min(a,b) + 1 olur.
S2. Mutlak değer denklemlerinde kritik noktalar nasıl bulunur?
C2. Her mutlak değer ifadesi için içindeki değerin sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır; aralıkları bunlarla ayırırsınız.
S3. f(x)=|x−3|+|x+4| fonksiyonunun grafiği nasıl görünür?
C3. İki “V” grafiğinin birleşimi; –4 ve 3’te köşe yapar, orta aralıkta sabit 7 değeri gösteren yatay bölüm yoktur (toplam mesafe grafiği).
S4. f(x)=7 yerine f(x)=8 yazılsaydı ne olurdu?
C4. –4 ≤ x ≤ 3 arasındaki f(x)=7 sabitliği bozulur; x>3 veya x<–4 bölgelerinde denklemi sağlayan bireysel x değerleri bulunurdu.
Bu çözümü pekiştirmek için f(x)=|x−2|+|x+5|=10 denklemi için tam sayı çözümlerini bulmak ister misiniz?
@Sevval_Tanis
f(x) = |x - 3| + |x + 4| denklemini sağlayan kaç farklı tam sayı vardır?
Önemli Noktalar
- Fonksiyon ifadesinde mutlak değerli ifadeler var: |x-3| ve |x+4|.
- Mutlak değerli ifadeler aralıktaki x değerlerine göre farklı açılım gösterir.
- Denklemi sağlayan tam sayıları bulmak için kritik noktalar x = -4 ve x = 3’tür.
- Fonksiyonun tanımlı olduğu tüm tam sayılar tek tek test edilerek toplam kaçının 7 sonucu verdiği bulunacaktır.
Fonksiyon:
Denklik:
Amaç: Bu denklemi sağlayan kaç tam sayı (x) vardır?
İçindekiler
- Mutlak Değer Fonksiyonunun Parçalanması
- Bölgelere Göre Denklem Çözümü
- Karşılaştırma Tablosu
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Mutlak Değer Fonksiyonunun Parçalanması
Mutlak değer ifadeleri 0 olan noktalar:
- x - 3 = 0 \Rightarrow x=3
- x + 4 = 0 \Rightarrow x=-4
Bunlar fonksiyonun parça parça açılacağı kritik noktalardır. Bu nedenle sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır:
- Bölge 1: x < -4
- Bölge 2: -4 \leq x \leq 3
- Bölge 3: x > 3
Her bölgede mutlak değer ifadeleri farklı şekilde açılır:
- Bölge 1:
|x - 3| = 3 - x (çünkü x - 3 < 0)
|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4 (çünkü x + 4 < 0) - Bölge 2:
|x - 3| = 3 - x (çünkü x-3 \leq 0)
|x + 4| = x + 4 (çünkü x+4 \geq 0) - Bölge 3:
|x - 3| = x - 3 (çünkü x - 3 > 0)
|x + 4| = x + 4 (çünkü x + 4 > 0)
2. Bölgelere Göre Denklem Çözümü
Her bölgedeki fonksiyon f(x) eşittir:
Bölge 1: x < -4
Şimdi denklem:
Ama burada x < -4 şartı var, bu nedenle x=-4 bu bölgeye dahil değil; sınırda olduğu için diğer bölgede kontrol edilir. Bölge 1’de çözüm yoktur.
Bölge 2: -4 \leq x \leq 3
Burada f(x) sabit 7’dir!
Yani bu bölgede tüm x değerleri için fonksiyon 7’dir.
- Bölge 2 aralığının tam sayılar halini yazalım:-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3Toplam 8 tam sayı değeridir.
Bölge 3: x > 3
Denklem:
Ama buradaki şart x > 3, yani x=3 sınırdadır, bu yüzden bölge 3’te denklemi sağlayan tam sayı yoktur.
Sonuç:
Yalnızca -4 ile 3 (dahil) arası tam sayılar f(x) = 7 eşitliğini sağlar. Burada 8 tane tam sayı vardır.
3. Karşılaştırma Tablosu
| Bölge | f(x) ifadesi | Katsayılar | 7’yi Sağlayan x | Tam Sayı Sayısı |
|---|---|---|---|---|
| x < -4 | -2x -1 | Negatif x | x=-4 (dahil değil) | 0 |
| -4 \leq x \leq 3 | Sabit 7 | Sabit | Tüm x | 8 |
| x > 3 | 2x + 1 | Pozitif x | x=3 (dahil değil) | 0 |
4. Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Fonksiyon | (f(x) = |
| Denklik | f(x) = 7 |
| Kritik Noktalar | x = -4, x = 3 |
| Çözüm Bölgesi | -4 \leq x \leq 3 |
| Çözüm Kümesi (tam sayılar) | -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 |
| Çözüm Adedi | 8 |
Sık Sorulan Sorular
1. Mutlak değerli fonksiyonlarda kritik noktalar neden önemli?
Çünkü mutlak değerin içinde olan ifade pozitif veya negatif olabilir ve fonksiyonun açılımı buna göre değişir. Bu kritik noktalar fonksiyonu parçalara bölmemizi sağlar.
2. Bu tip sorularda tam sayı yerine reel sayı ararsak ne olur?
Burada fonksiyon bölge 2’de sabit olduğu için yolda sonsuz reel çözüm vardır. Ancak tam sayı sayısı sınırlı.
3. Mutlak değer eşitlikleri nasıl daha kolay çözülür?
Mutlak değerlerin içini pozitif ve negatif bölgelerde açarak parça parça çözmek ve ardından ortak çözümleri birleştirmek gerekir.
Sonraki Adımlar
Bu soruda mutlak değer fonksiyonunun parça parça açılmasını gösterdim. İsterseniz, bu konu ile ilgili başka örnek soru çözümleri veya mutlak değer fonksiyonlarının grafiksel yorumunu detaylı inceleyebiliriz. İlgilenir misiniz?