f(x) = \log_{2}(x - 2) fonksiyonunun grafiğinin bir kısmı aşağıdaki eş karesel bölgelere ayrılmış düzleme çizilmiştir.
A, B ve C noktaları y = f(x) fonksiyonu üzerinde birer noktadır.
ACD üçgeninin alanı \log_{2} K birimkare olduğuna göre, K kaçtır?
A) 4\sqrt{\frac{64}{27}}
B) 6\sqrt{\frac{32}{9}}
C) 10\sqrt{\frac{64}{27}}
D) 8\sqrt{\frac{8}{9}}
E) 10\sqrt{\frac{32}{9}}
Logaritma Fonksiyonu ve Analitik Düzlemde Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
y = \log_2(x - 2) eğrisi üzerindeki iki noktanın ordinatları farkı logaritma bölme kuralı \log_2(u) - \log_2(v) = \log_2\left(\frac{u}{v}\right) ile bulunur. Dik üçgenin alanı ise \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Noktaların Koordinatlarının Belirlenmesi:
Düzlem eş karelerden oluştuğundan, ardışık düşey ızgara çizgileri arasındaki mesafeler eşittir.
- A noktası x = a doğrusu üzerinde,
- B noktası x = 4 doğrusu üzerinde (1 kare sağda),
- C ve D noktaları x = b doğrusu üzerinde (2 kare sağda) yer almaktadır.
Yatayda ardışık kare kenar uzunluğuna u dersek:
a = 4 - u \quad \text{ve} \quad b = 4 + 2u
B(4, f(4)) noktasının ordinatı:
f(4) = \log_2(4 - 2) = \log_2(2) = 1
Şekilde B noktası x-ekseninden 5 kare yukarıda yer aldığından, her bir karenin dikey kenar uzunluğu:
5k = 1 \implies k = \frac{1}{5}
Düzlem eş karesel bölgelerden oluştuğu için yatay ve düşey kenar uzunlukları birbirine eşittir (u = k = \frac{1}{5}):
a = 4 - \frac{1}{5} = \frac{19}{5} \implies a - 2 = \frac{9}{5}
b = 4 + 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{22}{5} \implies b - 2 = \frac{12}{5}
Adım 2 — ACD Üçgeninin Kenar Uzunlukları ve Alanı:
ACD dik üçgeninde:
- Yatay dik kenar: |AD| = b - a = 3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} birim
- Düşey dik kenar:
|CD| = f(b) - f(a) = \log_2\left(\frac{b-2}{a-2}\right) = \log_2\left(\frac{12/5}{9/5}\right) = \log_2\left(\frac{4}{3}\right)
Üçgenin alanı:
\text{Alan}(ACD) = \frac{|AD| \cdot |CD|}{2} = \frac{\frac{3}{5} \cdot \log_2\left(\frac{4}{3}\right)}{2} = \frac{3}{10} \log_2\left(\frac{4}{3}\right)
Adım 3 — K Değerinin Hesaplanması:
Logaritmanın kuvvet kuralı (c \cdot \log_2 x = \log_2(x^c)) uygulanırsa:
\text{Alan}(ACD) = \log_2\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{10}}\right] = \log_2 K
Buradan K değeri:
K = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{10}} = \left[\left(\frac{4}{3}\right)^3\right]^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{\frac{64}{27}}
CEVAP: C) \sqrt[10]{\frac{64}{27}} (K = \sqrt[10]{\frac{64}{27}})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
“Eş karesel düzlem” ifadesi yatay ve düşey ızgara birimlerinin analitik düzlemde eşit uzunluğa (u = k) karşılık geldiğini belirtir. Bilinen B(4, 1) noktasından karenin kenar uzunluğu çekildikten sonra, alan ifadesindeki katsayı logaritmanın içine kök derecesi olarak aktarılır.