$f(x) = x^2 + ax$ Fonksiyonunda Belirli İntegral Eşitliği ve $a$ Değerinin Bulunması

YKS TYT
1

a pozitif bir gerçel sayı olmak üzere gerçel sayilar
kümesi üzerinde f(x) = x’ + ax biçiminde tanimlanan bir
f fonksiyonu,
f(x)dx = f(a)
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre a değeri kaçtır?

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 56.4 KB

2

f(x) = x^2 + ax Fonksiyonunda Belirli İntegral Eşitliği ve a Değerinin Bulunması

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜLLER:]

  1. Polinom Fonksiyonun İntegrali: \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  2. Belirli İntegral (Newton-Leibniz): \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — f(a) Değerinin Hesaplanması
Fonksiyonda x yerine a yazarak eşitliğin sağ tarafını bulalım:
f(a) = a^2 + a \cdot a = a^2 + a^2 = 2a^2

Adım 2 — Belirli İntegralin Hesaplanması
Eşitliğin sol tarafındaki \int_{0}^{a} (x^2 + ax) \, dx ifadesinin integralini alalım:
\int_{0}^{a} (x^2 + ax) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} \right]_{0}^{a}

Sınır değerlerini yerine koyalım:
= \left( \frac{a^3}{3} + \frac{a \cdot a^2}{2} \right) - (0)
= \frac{a^3}{3} + \frac{a^3}{2}

Paydaları eşitleyerek (2 ve 3 ile) toplayalım:
= \frac{2a^3 + 3a^3}{6} = \frac{5a^3}{6}

Adım 3 — Eşitliğin Kurulması ve a Değerinin Çözülmesi
Soruda verilen \int_{0}^{a} f(x) \, dx = f(a) eşitliğini kullanalım:
\frac{5a^3}{6} = 2a^2

a pozitif bir gerçel sayı olduğu için (a > 0) her iki tarafı a^2 ile bölebiliriz:
\frac{5a}{6} = 2

Buradan içler dışlar çarpımı yaparsak:
5a = 12
a = \frac{12}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] a = \frac{12}{5} (veya ondalık olarak 2,4)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Belirli İntegral

  • [Tanım:] Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki eğri altında kalan alanını ifade eder.
  • [Bu problemde:] 0’dan a’ya kadar olan alan, fonksiyonun a noktasındaki değerinin iki katına eşit çıkmıştır.

2. Polinom İntegrali

  • [Tanım:] Üstü bir artırıp yeni üste bölme kuralıdır.
  • [Bu problemde:] x^2 terimi \frac{x^3}{3}'e, ax terimi ise \frac{ax^2}{2}'ye dönüşmüştür.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: f(a) Hesabında Hata Yapmak

  • [Yanlış:] f(a) = a^2 + a olarak almak.
  • [Doğru:] f(x) = x^2 + ax olduğu için x gördüğümüz her yere a yazmalıyız: a^2 + a(a) = 2a^2.
  • [Neden yanlış:] Fonksiyondaki a katsayısını unutmak sonucu tamamen değiştirir.

:cross_mark: İntegral Sınırlarını Karıştırmak

  • [Yanlış:] Sadece üst sınırı yazıp alt sınırı kontrol etmemek.
  • [Doğru:] Alt sınır 0 olduğu için bu soruda sonucu etkilemese de, her zaman F(üst) - F(alt) kuralı uygulanmalıdır.

Bu çözümde integralin üst sınırının aynı zamanda fonksiyonun bir parametresi (a) olması seni şaşırttı mı, yoksa bu tarz parametrik integral sorularına aşina mısın?