F(x) = log₍ₓ₊₁₎(x²−2x−15) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

YKS TYT
1

image
image720×960 39.8 KB

2

Kurallı f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Önemli Noktalar:

  • Logaritma fonksiyonun tanımı için logaritmanın tabanı ve logaritmanın içindeki ifade pozitif olmalıdır.
  • Fonksiyon:
f(x) = \log_{(x+1)} (x^2 - 2x - 15)

bulunmaktadır.

  • Buna göre, taban olan (x+1) pozitif ve 1’e eşit olmamalı, içteki ifade (x^2 - 2x - 15) pozitif olmalıdır.

Cevap:

f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için aşağıdaki koşulları sağlamalıyız:

  1. Taban şartları:
x+1 > 0 \implies x > -1

ve

x + 1 \neq 1 \implies x \neq 0
  1. İçerik şartı:
x^2 - 2x - 15 > 0

faktörize ederek:

(x - 5)(x + 3) > 0

Bu eşitsizliğin çözümü:

  • x < -3 veya x > 5
  1. Şimdi bu şartları baz alıp ortak küme bulalım:
  • x > -1 (taban için)
  • x \neq 0
  • (x < -3) \cup (x > 5) (logaritma içi için)

Burada x < -3 aralığı x > -1 ile çakışmaz (çünkü x > -1 x < -3'ü kapsamaz).
Dolayısıyla, yalnızca x > 5 kısmı dikkate alınır.

Sonuç olarak, tanım kümesi:

(5, \infty)

ve x \neq 0 koşulu burada zaten sağlanır.

Sonuç:

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi (5, ∞) aralığıdır.

İçindekiler:

  1. Fonksiyonun Tanımı ve Koşullar
  2. Logaritma Taban ve İfade Koşulları
  3. Çözümün Adımları
  4. Sonuç ve Seçenek Analizi
  5. Özet Tablo
  6. SSS

1. Fonksiyonun Tanımı ve Koşullar

f(x) = \log_{(x+1)} (x^2 - 2x - 15) fonksiyonundaki logaritmanın tanımlı olması için iki temel koşul vardır:

  • Taban pozitif ve 1’e eşit olmamalı
  • İçerideki ifade (logaritmanın argümanı) pozitif olmalı

Bu yüzden şu eşitsizlikler incelenir:

\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \\ x^2 - 2x - 15 > 0 \end{cases}

2. Logaritma Taban ve İfade Koşulları

Taban Koşulları:

  • x+1 > 0 \Rightarrow x > -1
  • x+1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0

İfade Koşulu:

  • x^2 - 2x - 15 > 0
    Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

İkili çarpımın pozitif olması demek, iki çarpanın ya ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif olmasıdır.

  • (x - 5) > 0 ve (x + 3) > 0 ise x > 5
  • Veya (x - 5) < 0 ve (x + 3) < 0 ise x < -3

Dolayısıyla:

x < -3 \quad \text{veya} \quad x > 5

3. Çözümün Adımları

  • x > -1 olmalı (taban için)
  • x \neq 0 olmalı (taban için)
  • x < -3 veya x > 5 olmalı (log içi için)

Bu şartların hepsini aynı anda sağlayacak x değerlerini bulalım:

  • x < -3 şartı aynı zamanda x > -1 ile çelişir, çünkü x < -3 x > -1'i sağlamaz.
  • x > 5 ise x > -1 koşulunu otomatik sağlar.
  • x \neq 0 burada zaten sağlanıyor çünkü x > 5.

Sonuç:

x \in (5, \infty)

4. Sonuç ve Seçenek Analizi

Verilen seçenekler arasında yalnızca E şıkkı (5, ∞) uygundur.

5. Özet Tablo

Koşul İfade Çözüm
Tabanın pozitif olması x + 1 > 0 x > -1
Taban 1’e eşit olmamalı x + 1 \neq 1 x \neq 0
Logaritmanın içine yazılan ifade x^2 - 2x - 15 > 0 x < -3 veya x > 5
Tüm şartların birleşimi - x \in (5, \infty)

6. SSS (Sıkça Sorulan Sorular)

S1: Logaritmanın tabanı neden 1 olamaz?
Çünkü \log_a b ifadesi için taban a reel ve pozitif olmakla beraber a \neq 1 olmalıdır. Aksi takdirde logaritma tanımsızdır.

S2: Bu fonksiyon için tanım kümesini nasıl bulurum?
Taban ve logaritmanın içindeki fonksiyonun pozitif olduğu aralıkları ayrı ayrı bulup kesişimlerini alarak en geniş tanım kümesini elde edersiniz.

S3: Neden x < -3 aralığını alamıyoruz?
Çünkü x > -1 koşulu ile çelişir, aynı anda sağlanamaz.

Farklı fonksiyonlarda tanım kümesi sorularını çözmek ister misiniz? Size birkaç alıştırma problemi hazırlayabilirim!

3

f(x) = log₍ₓ₊₁₎(x²−2x−15) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

  • x+1 tabanının pozitif ve 1’e eşit olmaması gerekir.
  • x²−2x−15 ifadesi pozitif olmalıdır.
  • Bu iki koşulun kesişimi alındığında sadece x>5 değerleri geçerlidir.
  1. Tanım Kümesi Belirleme
  2. Koşulların Çözümü
  3. Sonuç
  4. Koşul Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. Sıkça Sorulan Sorular

1. Tanım Kümesi Belirleme

Logaritma fonksiyonu f(x)=\log_{a}(b) için

  • Taban Koşulu: a>0 ve a\neq1
  • Argüman Koşulu: b>0

Burada a=x+1, b=x^2-2x-15 olduğuna göre bu koşullar uygulanır.

2. Koşulların Çözümü

  1. Taban için
    $$x+1>0\ \Rightarrow\ x>-1$$
    $$x+1\neq1\ \Rightarrow\ x\neq0$$
  2. Argüman için
    $$x^2-2x-15>0\quad\Rightarrow\quad(x-5)(x+3)>0$$
    $$\Rightarrow\ x\in(-\infty,-3)\cup(5,\infty)$$
  3. Kesişim:
    $${x>-1}\cap{x\in(-\infty,-3)\cup(5,\infty)}=(5,\infty)$$

3. Sonuç

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi (5, ∞)’tir.

4. Koşul Karşılaştırma Tablosu

Koşul Denklemler ve Çözüm Sonuç
Taban Koşulu x+1>0,\;x+1\neq1 x>-1,\;x\neq0
Argüman Koşulu x^2-2x-15>0\;\Rightarrow\;(x-5)(x+3)>0 x\in(-\infty,-3)\cup(5,\infty)
Kesişim \{x>-1\}\cap\{...\} (5,\infty)

5. Özet Tablosu

Adım Koşul Türü Çözüm Aralığı
1 Taban x+1 x>-1,\;x\neq0
2 Argüman x^2-2x-15 x\in(-\infty,-3)\cup(5,\infty)
3 Kesişim (5,\infty)

6. Sıkça Sorulan Sorular

S1. Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlerken hangi temel koşullara dikkat etmeliyiz?
C1. Tabanın pozitif ve 1’e eşit olmaması, argümanın ise pozitif olması gerekir.

S2. Neden f(x)=\log_{x+1}(x^2-2x-15) için x>5 dışında hiçbir değer kabul edilmez?
C2. Çünkü taban ve argüman koşulları ancak x>5 aralığında aynı anda sağlanır.

S3. Eğer taban 0<a<1 aralığında olsaydı argüman koşulu nasıl etkilenirdi?
C3. Argüman koşulu değişmez, yalnız tabanın artma/azalma yönü tersine döner; tanım kümesi aynı kalır.

S4. x+1=1 olması durumunda fonksiyon neden tanımsız olur?
C4. Çünkü logaritmanın tabanı 1’e eşit olamaz (log₁ ifadesi anlamsızdır).

Bu konu hakkında 3 adet alıştırma sorusu ister misiniz?
@Prof.8