F(x) = log₍√7₎(x² + (p + 1)x − p + 2) fonksiyonunun tanım kümesi ℝ ise, p kaç tam sayı değeri alabilir?

YKS TYT
1

image
image720×960 31.1 KB

2

p’nın Alabileceği En Geniş Tanım Kümesi: Logaritma Fonksiyonu ve Diskriminant İlişkisi

Önemli Noktalar

  • Fonksiyonun tanım kümesi, içindeki ifadenin pozitif olmasıyla belirlenir.
  • f(x)=\log_{\sqrt{7}}(x^2+(p+1)x - p + 2) fonksiyonu için içteki ifade her gerçek sayı için pozitif olmalı.
  • İkinci dereceden ifadede gerçek kök olmaması için diskriminant (\Delta) negatif olmalıdır.
  • p tam sayı değerleri için \Delta < 0 olma durumu incelenir.

Cevap

Fonksiyonun tanım kümesinin gerçek sayılar kümesi olabilmesi için iç fonksiyonun ifadesi x^2+(p+1)x - p + 2 her x \in \mathbb{R} için pozitif olmalıdır. Bu da ikinci dereceden ifadenin köklerinin olmaması, yani diskriminant \Delta < 0 olması ile sağlanır.

Diskriminant şu şekilde hesaplanır:

\Delta = (p+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p + 2) = (p+1)^2 + 4(p-2)

Hesaplayalım:

\Delta = p^2 + 2p + 1 + 4p - 8 = p^2 + 6p -7

İstenen koşul:

p^2 + 6p -7 < 0

Bu ikinci derece eşitsizliği çözersek, kökler:

p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}

Kökler:

p_1 = 1, \quad p_2 = -7

Parabol a=1 > 0 olduğu için, \Delta < 0 durumu -7 < p < 1 aralığındadır.

Tam sayı değerler: p \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0\}, yani toplam 7 tam sayı değer.

İçindekiler

  1. Fonksiyonun Tanım Kümesi Koşulu
  2. Diskriminant Kullanımı ve Eşitsizlik Çözümü
  3. Sonuç ve Özet Tablosu

1. Fonksiyonun Tanım Kümesi Koşulu

f(x) fonksiyonunda logaritmanın tabanı \sqrt{7}, pozitif ve 1’den farklıdır, bu nedenle logaritmanın içi pozitif olmalıdır:

x^2 + (p+1)x - p + 2 > 0

Bu ikinci dereceden ifade her x \in \mathbb{R} için pozitif olmalıdır. Yani kök yok veya kökler aynı ve pozitiflik sağlanmalı. Kök olmaması için diskriminantın negatif olması zorunludur.

2. Diskriminant Kullanımı ve Eşitsizlik Çözümü

İkinci dereceden denklemin diskriminantı:

\Delta = (p+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p + 2)

olarak bulunur. Hesaplanınca:

\Delta = p^2 + 6p -7

Bu ifadeyi negatif yapan tam sayılar aranır.
Kökler: p=-7 ve p=1
Parabol a>0 olduğu için negatiflik bu aralıktadır:

-7 < p < 1

3. Sonuç ve Özet Tablosu

Koşul Detay
Fonksiyon f(x) = \log_{\sqrt{7}}(x^2+(p+1)x - p + 2)
Tanım kümesi Tüm gerçek sayılar için iç fonksiyon pozitif
Diskriminant \Delta = p^2 + 6p - 7 < 0
Çözüm aralığı -7 < p < 1 tam sayı aralığı
Tam sayı değer sayısı \{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0\} toplam 7 değer

Sıkça Sorulan Sorular

S1: Diskriminant neden negatif olmalı?
C1: İkinci dereceden ifadenin kökleri yoksa ifade her zaman pozitif olur, dolayısıyla logaritmanın tanımı gerçek sayılar kümesinde mümkün olur.

S2: Logaritmanın tabanı neden önemli?
C2: Taban pozitif ve 1’den farklı olmalıdır, aksi halde tanım kümesi veya fonksiyon geçersiz olur.

S3: p tam sayı değerleri nasıl bulunur?
C3: Negatif diskriminant eşitsizliği çözüldükten sonra tam sayılar sıralanır.

Fonksiyondaki p değerlerinin sayısını anlamak için bu analiz yeterlidir.

Fonksiyonda p için başka sorularınız var mı? Size başka örnekler de hazırlayabilirim.

3

f(x) = log₍√7₎(x² + (p + 1)x − p + 2) fonksiyonunun tanım kümesi ℝ ise, p kaç tam sayı değeri alabilir?

Başlıca Çıkarımlar

  • Logaritmanın tanımlı olması için içindeki ifadenin tüm x ∈ ℝ için pozitif olması gerekir.
  • Bir ikinci dereceden polinomun tüm x için pozitif kalması, a > 0 ve Δ < 0 koşullarını sağlar.
  • Δ = (p + 1)² − 4·1·(−p + 2) = p² + 6p − 7 < 0’dan elde edilen aralık −7 < p < 1, tam sayılarla 7 değer.

Doğrudan Cevap
İlk katsayı 1 > 0 olduğundan, Δ < 0 koşulunu sağlayan tam sayılar p ∈ {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0} kümesinde 7 adettir.

İçindekiler

  1. Tanım Kümesi Koşulunun Elde Edilmesi
  2. Δ < 0 Eşitsizliğinin Çözümü
  3. Sonuç ve Sayma
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

1. Tanım Kümesi Koşulunun Elde Edilmesi

f(x) = log₍√7₎(Q(x)) fonksiyonunun tanımlı olması için

Q(x) = x^2 + (p+1)x - p + 2 > 0,\quad \forall x\in\mathbb{R}.

Burada a=1>0 olduğundan, $Q(x)$’in tüm gerçeklerde pozitif kalması için sadece diskriminantın negatif olması gerekir.

2. Δ < 0 Eşitsizliğinin Çözümü

Diskriminant

\Delta = b^2 - 4ac = (p+1)^2 - 4\cdot1\cdot(-p+2) = p^2 + 6p - 7.

Eşitsizliği çözelim:

p^2 + 6p - 7 < 0 \quad\Longrightarrow\quad -7 < p < 1.

Bu aralıktaki tam sayılar: -6,-5,-4,-3,-2,-1,0.

3. Sonuç ve Sayma

  • Geçerli tam sayılar: p=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0
  • Toplam: 7 adet.

4. Karşılaştırma Tablosu

Durum Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
Kök Sayısı İki farklı gerçek kök Çift katlı tek gerçek kök Gerçek kök yok
Parabol Kök aralarında negatif olur Tepe noktasında sıfır olur Tamamen pozitif (a > 0 ise)
Log tanım Tüm ℝ’de tanımlı değil Sıfır noktasında tanımsız Tüm ℝ’de tanımlı evet

5. Özet Tablosu

Koşul Elde Edilen Aralık Tam Sayı Değerleri Adet
Δ < 0 −7 < p < 1 −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0 7

6. SSS

S1. Δ nasıl bulunur?
C: İkinci dereceden polinomda Δ = b² − 4ac formülü kullanılır.

S2. Neden Δ < 0 istiyoruz?
C: a > 0 ise Δ < 0 polinomun tüm gerçeklerde pozitif kalmasını sağlar.

S3. Logaritmanın taban işareti tanım kümesini nasıl etkiler?
C: Taban √7 > 1 olduğunda log₍√7₎(y) tanımlı olması için y > 0 olmalıdır.

S4. p için bulunan aralık açık mı kapalı mı?
C: Eşitsizlik ‹ işareti açık aralık, bu yüzden uç değerler dahil edilmez.

Başka benzer logaritma–kuadratik problemler üzerinde pratik yapmak ister misiniz? @Prof.8