F(x) = log₍ₓ₋₁₎((2x − 10)/(x + 3)) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

YKS TYT
1

image
image720×960 44 KB

2

Naşsmd: Kurallı f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Önemli Noktalar

  • Logaritmanın içi pozitif olmalıdır.
  • Logaritmanın tabanı (x-1) pozitif ve 1’e eşit olmamalıdır.
  • Payda sıfır yapmamalıdır.
  • Fonksiyonun tanım kümesi tüm bu koşulları sağlayan x değerlerinden oluşur.

Cevap

Fonksiyon f(x)=\log_{x-1}\left(\frac{2x-10}{x+3}\right) 'in en geniş tanım kümesi belirlenirken şu koşullar sağlanmalıdır:

  1. Tabanın pozitif ve 1’e eşit olmaması gerekir:
x-1 > 0 \\ x \neq 2 \quad \text{(Çünkü taban 1 olamaz)} \\ \Rightarrow x > 1 \quad \text{ve} \quad x \neq 2
  1. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır:
\frac{2x - 10}{x + 3} > 0

Bunu işaret tablosu ile inceleyelim.

  • Paydanın kökü: x = -3 (payda sıfır olamaz)
  • Payın kökü: 2x - 10 = 0 \Rightarrow x=5

İşaret tablosu:

Aralık -\infty -3 5 +\infty
Pay (2x-10) - - + +
Payda (x+3) - 0 + +
Kesir İşareti + (çift) - + +

Yukarıdaki işaretlere göre, ifade pozitif olduğu aralıklar:

  • (-\infty, -3) (pay ve payda ikisi negatif, sonuç pozitif)
  • (5, \infty)

Ancak x > 1 ve x \neq 2 koşulu da olmalı.

Bu durumda, tanım kümesi:

(1, 2) \cup (2, 5) \quad \text{değil çünkü } \frac{2x-10}{x+3} \text{ pozitif değil}

Ama gerçek aralıkta fonksiyonun tanım kümesini içeren kısım:

(5, \infty)

Çünkü x>1, x \neq 2, ve kesir pozitif olmalı ise tek mümkün aralık (5, \infty)'dir.

Sonuç olarak doğru seçenek:

E) (5, \infty)

İçindekiler

  1. Fonksiyonların Tanım Kümesi Kuralları
  2. Logaritmanın Tanım Kümesinde Dikkat Edilmesi Gerekenler
  3. Kesirli Fonksiyonlarda Tanım Kümesi
  4. Özet Tablosu
  5. FAQ

1. Fonksiyonların Tanım Kümesi Kuralları

Fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu tüm x değerleridir.
Burada:

  • Logaritmanın tabanı pozitif olmalı ve 1’e eşit olmamalıdır.
  • Logaritmanın içi pozitif olmalıdır.
  • Payda sıfır yapmamalıdır.

2. Logaritmanın Tanım Kümesinde Dikkat Edilmesi Gerekenler

  • Taban >0 ve taban \neq 1 olmalıdır.
  • İçerik >0 olmalıdır.
    Bu durumlar x değerlerini eşitsizlikler ile sınırlar.

3. Kesirli Fonksiyonlarda Tanım Kümesi

Kesrin paydası sıfır olmamalıdır. Bu nedenle, payda kökü tanım kümesinden çıkarılır.

4. Özet Tablosu

Koşul Eşitsizlik Sonuç
Logaritma tabanı pozitif x - 1 > 0 x > 1
Logaritma tabanı 1’e eşit değil x \neq 2 x \neq 2
Logaritma içi pozitif \frac{2x-10}{x+3} > 0 (-\infty, -3) \cup (5, \infty)
Payda sıfır olmamalı x \neq -3 x \neq -3
Tüm koşullar birlikte (5, \infty)

5. Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

S1: Logaritmanın tabanı neden 1 olamaz?

  • Çünkü \log_1 (x) tanımsızdır; taban 1 olduğunda logaritmanın tanımı geçersiz olur.

S2: Neden payda sıfırdan farklı olmalıdır?

  • Payda 0 olursa kesir tanımsız olur, tanım kümesinden çıkarılır.

S3: Taban negatif olursa ne olur?

  • Negatif tabanlarda logaritma fonksiyonu reel sayılarda tanımsızdır.

Fonksiyonun tanım kümesinin nereden geldiğini daha iyi anlamak ister misiniz? Size bu tür eşitsizlikleri çözmeniz için örnekler hazırlayabilirim!

3

f(x) = log₍ₓ₋₁₎((2x − 10)/(x + 3)) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Önemli Noktalar

  • Logaritma tabanı için x-1>0 ve x-1\neq1
  • Logaritma argümanı için \displaystyle \frac{2x-10}{x+3}>0
  • Kritik noktalar: x=1,\;x=2,\;x=5,\;x=-3

Tanım kümesi (5,\infty)

İçindekiler

  1. Koşulların Derinlemesine İncelenmesi
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Koşulların Derinlemesine İncelenmesi

  1. Taban koşulu
    • x-1>0\implies x>1
    • x-1\neq1\implies x\neq2
  2. Argüman koşulu
    $$\frac{2x-10}{x+3}>0;\Longleftrightarrow;\frac{2(x-5)}{x+3}>0$$
    Sıfır yapan noktalar x=5,\;x=-3. İşaret tablosu:
    • (-\infty,-3): (-)/(-)=+
    • (-3,5): (-)/(+)=-
    • (5,\infty): (+)/(+)=+
      Dolayısıyla argüman pozitif olması için x\in(-\infty,-3)\cup(5,\infty).
  3. Tüm koşulların kesişimi
    $$x>1;\cap;x\neq2;\cap;\bigl[(-\infty,-3)\cup(5,\infty)\bigr]
    = (5,\infty),. $$

Karşılaştırmalı Tablo

Koşul Türü Eşitsizlik Çözüm Kümesi
Taban x-1>0,\;x-1\neq1 x>1,\;x\neq2
Argüman \frac{2x-10}{x+3}>0 (-\infty,-3)\cup(5,\infty)

Özet Tablosu

Adım Koşul Sonuç
1 x-1>0 x>1
2 x-1\neq1 x\neq2
3 \dfrac{2x-10}{x+3}>0 (-\infty,-3)\cup(5,\infty)
4 Tüm koşulların kesişimi (5,\infty)

SSS

  1. Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesini nasıl bulurum?
    • Taban için >0 ve \neq1, argüman için >0 koşullarını ayrı ayrı sağlayıp kesiştirin.
  2. Neden x=2 alınamaz?
    • Çünkü x-1=2-1=1 olduğunda logaritma tabanı 1 olur ve tanımsızdır.
  3. Kesirli ifadede işaret tablosu nasıl oluşturulur?
    • Pay ve payda sıfır yapan noktaları belirleyip, aralık aralık işaret kontrolü yapın.
  4. Taban ve argüman koşulları çakışırsa ne olur?
    • Kesişim işlemi sonucunda ortak küme bulunur; ortak elemanlar tanım kümesini verir.

Benzer tanım kümesi sorularıyla ilgili 2 örnek çözmemi ister misiniz?

@Prof.8