f(x) = log√2 (x² - (a+3)x + 9) fonksiyonunun her x gerçek sayısı için tanımlı olması için a’nın en geniş değer aralığı nedir?
Cevap:
Fonksiyonumuz:
f(x) = \log_{\sqrt{2}} \left( x^2 - (a+3)x + 9 \right)
1. Logaritmanın tanımlı olması için koşullar:
- Logaritmanın tabanı pozitif ve 1’den farklı olmalıdır.
- Logaritmanın içi (argümanı) her x için pozitif olmalıdır.
Burada taban \sqrt{2}, ki \sqrt{2} > 1 olduğundan taban koşulu sağlanıyor.
2. Fonksiyonun tanımlı olması için:
x^2 - (a+3)x + 9 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
Yani, ikinci dereceden polinomun her x için pozitif olması gerekiyor.
3. İkinci dereceden polinomun her yerde pozitif olması için:
- Parabolun açısı yukarı doğru olmalı (burada x^2 katsayısı pozitif, yani 1 > 0 sağlanıyor).
- Diskriminant (ayrım) negatif olmalı, yani kökleri olmamalı.
Diskriminant formülü:
\Delta = b^2 - 4ac
Burada:
- a = 1
- b = -(a+3)
- c = 9
O halde:
\Delta = (-(a+3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (a+3)^2 - 36
4. Diskriminantın negatif olması için:
(a+3)^2 - 36 < 0
(a+3)^2 < 36
|a+3| < 6
Bu mutlak değer eşitsizliğini açarsak:
-6 < a + 3 < 6
-6 - 3 < a < 6 - 3
-9 < a < 3
5. Sonuç:
Fonksiyonun her x için tanımlı olması için a'nın alabileceği en geniş değer aralığı:
\boxed{(-9, 3)}
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Fonksiyonun tanımlı olması için logaritmanın içi pozitif olmalı | x^2 - (a+3)x + 9 > 0 |
| 2 | Parabolun her yerde pozitif olması için diskriminant negatif olmalı | \Delta = (a+3)^2 - 36 < 0 |
| 3 | Mutlak değer eşitsizliği | $ |
| 4 | a için aralık | -9 < a < 3 |
Doğru cevap: A) (-9, 3)
Soru:
f(x) = log₍√₂₎(x² − (a + 3)x + 9) fonksiyonunun her gerçek x için tanımlı olması şartıyla, a’nın alabileceği en geniş değer aralığı nedir?
İçindekiler
- Problemin Analizi
-
- Kuvadratın Sürekli Pozitif Olma Şartı
- Diskriminant İncelemesi
- Elde Edilen Eşitsizliğin Çözümü
- Seçeneklerin Karşılaştırılması ve Doğru Sonuç
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Problemin Analizi
Bir logaritma fonksiyonu olan
$
f(x) = \log_{\sqrt2}\bigl(x^2 - (a+3)x + 9\bigr)
$
ifadesinin tanımlı olması için içindeki ifadenin her gerçek x değeri için pozitif olması gerekir.
2. Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesi Koşulu
Genel olarak
$
\log_b(u)
$
fonksiyonu,
- b>0 ve b≠1
- u>0
koşulları altında tanımlıdır.
Burada taban √2 ≈ 1.414 olduğundan b>1 şartı sağlanıyor. Dolayısıyla tek kritik koşul:
$
x^2 - (a+3)x + 9 ;>;0
\quad\forall x \in \mathbb{R}.
$
3. Kuvadratın Sürekli Pozitif Olma Şartı
Bir ikinci dereceden polinomun tüm reel x’ler için pozitif olabilmesi için:
- Katsayı x^2 teriminde pozitif olmalı (burada zaten 1>0).
- Diskriminant (ayırıcı) negatif olmalı. Yani kökü yok veya çift karmaşık kökü olsun.
4. Diskriminant İncelemesi
Polinomumuz:
$
P(x) = x^2 - (a+3)x + 9.
$
Buna göre diskriminant:
$
\Delta = \bigl[-(a+3)\bigr]^2 - 4\cdot1\cdot9
= (a+3)^2 - 36.
$
Sürekli pozitif olması için \Delta<0 olmalı:
$
(a+3)^2 - 36 < 0.
$
5. Elde Edilen Eşitsizliğin Çözümü
(a+3)^2 < 36 eşitsizliği, mutlak değer biçiminde:
$
|a+3| < 6
$
olur. Bunu açarsak:
-6 < a + 3 < 6
Her üç adımı takip ederek:
- -6 < a+3 ⇒ a > -9
- a+3 < 6 ⇒ a < 3
Sonuçta:
-9 < a < 3
6. Seçeneklerin Karşılaştırılması ve Doğru Sonuç
Aşağıda, verilen şıklar ve bizim bulduğumuz aralık karşılaştırılıyor:
| Şık | Aralık | İçerir mi? |
|---|---|---|
| A | (−9, 3) | Evet |
| B | (−8, 4) | kısmi örtüşür |
| C | (−7, 5) | kısmi örtüşür |
| D | (−6, 6) | kısmi örtüşür |
| E | (−5, 7) | kısmi örtüşür |
En geniş ve doğru örtüşme (−9, 3) aralığıdır.
7. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Tanım kümesi koşulu | İç parametrenin pozitif olması | x^2 - (a+3)x + 9 > 0 |
| 2. Diskriminant | \Delta = (a+3)^2 - 36 | \Delta < 0 |
| 3. Eşitsizlik | (a+3)^2 < 36 | -9 < a < 3 |
| 4. Doğru şık | Şıklardan en geniş aralık | A) (−9, 3) |
8. Sonuç
f(x) fonksiyonunun her gerçek x için tanımlı olması için a’nın alabileceği en geniş değer aralığı:
\boxed{(-9,\,3)}
Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.
@nls